IL BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI NELLO SPAZIO, ECC. 583 
si ha una corrispondenza reciproca tra il numero « ed il punto P. 
Per x=0, si ha: 
(40) =q- (XxX DI (1) 
quindi: 
i bat c | 
pg bay 
da cui: 
P=P+ au. 
1 Variando x il punto P descrive una retta r parallela ad u. 
Il quaternione q si può assumere come coorDINATA della retta r 
rispetto al sistema (O, I). 
Dalla (1') si deduce: 
r 
P=0+mI+]|(va]) (2) 
P=04mI+zu+](va]). (2') 
| Il punto /, è il punto della retta r più vicino alla retta 0A; 
«lo scalare m del quaternione è la proiezione di OP, sulla dire- 
| zione 0A; la minima distanza di r da OA è data da mod(ual). 
Posto: 
= peî® 
dove p,@ sono numeri reali ed è è un vettore unità, sarà: 
P,= 04 (pcosp) /4- pseng. | (ia1). 
Se p=0, Po=0, la retta r passa per O ed ha la dire- 
zione del vettore è. 
Se @g=0 oppure p=t la retta » incontra 0/ nel punto 
Op ed ha la direzione di 4. 
Se (ia/)= 0, la retta » coincide colla retta OI. 
La coordinata-quaternione così definita non serve a deter- 
minare le rette parallele ad OA; per queste bisogna dare un 
punto. 
Data una retta » non parallela ad OA mediante un suo 
punto P ed il suo vettore «, è univocamente determinata la sua 
coordinata-quaternione 9g. Infatti il vettore di q è «; lo scalare m 
di g si deduce dalla (2°), ed è espresso da: 
(P— 0)qua| (val) DE cosPOA — cos(OP, r)cos(04,r), 
- —(wal) sen?(04,») 
