IL BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI NELLO SPAZIO, ECC. 585 
Le formole ‘4, ‘5 esprimono che scambiando i punti medî 
il birapporto si cambia nel suo complemento all’1; scambiando 
i due ultimi punti esso si cambia nel suo reciproco come avviene 
per punti allineati. 
‘6 (BADO) SIAT PARE, [[V(ABO)aV(BAD)| 
‘7 (BADC)-(ABCD)=-——[(B—A)a(C—A)o(D—A)](B-4). 
Se i punti non sono complanari il trivettore tra [ | nella ‘7 
non è nullo, ed il birapporto si modifica nel suo vettore quando 
si scambiano fra loro i due primi punti e contemporaneamente 
i due ultimi. 
Ne consegue che: “ I ventiquattro birapporti di quattro punti 
non complanari corrispondenti alle ventiquattro permutazioni dei 
punti stessi sono IN GENERALE tutti disuguali ,. 
2. — Posto: 
(ABCD) = p, si deduce: (ACBD)=1— p 
(ABDC)y= p, (ACDB)=(1— p)" 
(ADBC)=1—p*, (ADCB) = p(p— 1)". 
I birapporti ottenuti tenendo fisso il primo punto e permu- 
tando gli altri tre hanno vettori paralleli, ed hanno lo stesso 
verso i tre vettori corrispondenti alle permutazioni cicliche BCD, 
CDB, DBC; ed hanno il verso contrario i tre vettori corrispon- 
denti alle permutazioni inverse DCB, BDC, CBD. 
8. — Posto: 
(B— A)a(C— A)a(D— A) = 67 = 6 Volume ABCD 
sarà: 
y 127" 
(BADC)=(ABCD)+—— (B_A) 
(CDAB)=1—(CADB)=1—(ACBD)—— |; (C— 4)= 
— (ABOD) — FA Ai (oe. 
