IL BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI NELLO SPAZIO, ECC. 587 
5. — Tenuto conto delle relazioni trovate potremo scrivere: 
(ABCD) ="2% ep; (ACDB) = È senO ap; (ADBC)= 22 gia, 
sen Spr 5 
| Ne consegue che => sarà il tensore comune dei quater- 
néoni: 
(ABCD), (BADC), (CDAB), (DCBA) 
e che @ ne è l'argomento comune, mentre i loro vettori unità 
saranno generalmente diversi. 
Siano a, di, €,,d,, questi vettori unità, siamo in grado di 
esprimere mediante gli argomenti @, w, 9, ed i vettori 4,, 0,,€1,d 
i ventiquattro birapporti. 
Eccone il quadro: 
(ABCD) =" epui (ACDB) = senO papa, (ADBC)=SM® da; 
sen ny 
(BADC) == fi ed; (BDCA) = seno ew; (BCAD) = senP da 
(1) Fou sen® soma 
(CDAB) = epa; (CABD) = E pa: (CBDA) = EP da; 
sen0 sen seny 
| (DOBA) = P* c0d. (DBAC)= PO avan: (DACB = RE a 
)= 
sen® senp 
Gli altri dodici birapporti che si deducono scambiando in 
ciascuno gli ultimi due punti, sono i reciproci dei precedenti. 
Risulta così dimostrato che: “ / birapporti di quattro punti 
non complanari dipendono dai tre angoli di un triangolo e da 
quattro vettori unità ,. 
Se i quattro punti sono in un piano, i vettori unità sono 
uguali e normali al piano dei punti. In questo caso 1 birapporti 
sono a quattro a quattro uguali e dipendono da tre angoli di 
un triangolo; passano tra essi le relazioni che legano i birap- 
porti di quattro punti allineati (*). 
(*) Ho avuto occasione di studiare il birapporto di quattro punti di 
un piano definito intrinsecamente in un mio lavoro: Baricentro di un 
sistema piano di punti con masse immaginarie (£ Periodico di Matematica , 
Fase, IV, 1904). 
