IL BIRAPPORTO DI QUATTRO PUNTI NELLO SPAZIO, ECC. 597 
dove: 
A == Vsenasen8seny sen seny sen8 [d --2cos(da;) ]. 
Il circumraggio del tetraedro è dato da — ed è indi- 
i sen(da,) 
pendente da p e da g. 
Gli altri elementi del tetraedro ABCD, cioè i seni dei triedri, 
gli angoli degli spigoli opposti, le distanze degli spigoli op- 
posti ecc., si deducono immediatamente dalle formole precedenti. 
8. — Dalle considerazioni e dai calcoli svolti nel numero 
precedente, risultano segnalati punti e rette notevoli nelle faccie 
del tetraedro, che corrispondono a proprietà di questa figura, 
che si possono raccogliere in questo teorema: 
Se per un vertice di un tetraedro si conducono le bisettrici 
interne ed esterne di ciascuna delle faccie concorrenti in quel vertice, 
fino ad incontrare i lati della faccia opposta in tre coppie di 
punti, i punti medì di queste tre coppie sono allineati. Le sfere 
che hanno per diametri le congiungenti queste coppie di punti pas- 
sano per il primo vertice e si tagliano secondo una circonferenza. 
Il piano di questa circonferenza è normale alla faccia stessa, la 
incontra secondo un diametro del suo circumcerchio, e contiene il 
circumcentro del tetraedro. 
I punti d'incontro di questa circonferenza colla faccia a cuì 
è normale, sono punti notevoli della faccia stessa. Se si protettano 
questi punti dai vertici delle faccie sul proprio circumceerchio si 
ottengono quattro coppie di triangoli tutti simili. I lati di questi 
triangoli sono proporzionali ai prodotti degli spigoli opposti nel 
tetraedro. 
Se si chiamano rispettivamente 09, w, @ gli angoli di questi 
otto triangoli simili (che a due a due sono uguali), saranno 
punti notevoli del tetraedro i punti delle faccie che hanno in 
ciascuna di esse per coordinate baricentriche le potenze enne- 
sime dei seni di 6, y,@. Sono i punti: 
sen"p . B+ sen"y. C+ sen"0 . D, 
sen"0.C+ sen"y. D+ sen"p. A 
sen"p.D+sen"y. A + sen”0 . B 
sen"8 . A+ sen"y. B+ sen"p. C 
che chiamerò rispettivamente 4", B", C*, D", con » intero. 
Atti della R. Accademia — Vol. XL. 40) 
