ALCUNI NUOVI PROBLEMI CHE SI PRESENTANO, ECC. 617 
$ 1. — Sia data l’equazione: 
du du du 
il ir Ù 
(1) dedy f| de? dy° U, Xx, Y 
dove la f è una funzione (di 5 variabili) soddisfacente alle con- 
de! dy 
siano coordinate cartesiane ortogonali in un piano rappresentativo; 
indicheremo con O l’origine degli assi. Siano A, B due punti posti 
rispettivamente sull’asse delle x e sull’asse delle y, e sia È il 
rettangolo di cui 0, A, B sono tre vertici. È ormai classico il 
teorema che in R esiste uno e un solo integrale u della (1), che 
su OA, OB prende valori prefissati arbitrariamente. Se poi T è un 
arco di curva terminato ai punti A, B, che sia contenuto tutto 
nella regione x 2 0, y= 0, che non sia incontrato da alcuna retta 
caratteristica (x = cost., y= cost.) in più di un punto, che pos- 
segga in ogni punto una tangente determinata, che non abbia 
alcuna tangente parallela all’ asse delle x o a quello delle 7, 
allora è pur ben noto il teorema: Esiste in R uno e un solo 
integrale u della (1) tale che su V la u e la sua derivata normale 
abbiano valori prefissati (*). 
Goursat ha infine dimostrato recentemente (“ Annales de 
la Faculté de Toulouse ,, 1904): 
Un integrale u della (1) è in generale determinato in un’area 
abbastanza piccola, quando si diano î suoi valori lungo due curve l, hi, 
le quali escano da uno stesso punto A, non abbiano, oltre A, alcun 
altro punto a comune, non siano incontrate ciascuna da alcuna 
caratteristica in più di un punto, e siano di più tali che le due 
caratteristiche, uscenti da A, rimangano esterne all'angolo formato 
dalle curve T, N in discorso. Su queste due curve poi i valori di u 
si possono prefissare a piacere. 
Questo teorema del Goursat può recare sorpresa, perchè le 
curve l, [" si possono considerare come costituenti un’unic: 
curva €, lungo cui è sufficiente conoscere i valori di un inte- 
dizioni di Lipschitz rispetto alle u. Supporremo che le x, y 
(*) Qui supponiamo senz'altro che la f sia definita per tutti i sistemi 
di valori finiti della x, y, « de, ni se ciò non fosse, bisognerebbe sup- 
porre KR abbastanza piccolo, ecc., ecc. (DarBovXx, Théorie des Surfaces, 
IV® partie; note I par M. E. Picarp). 
