618 GUIDO FUBINI 
grale, per determinarlo completamente. Ciò non è però contrad- 
ditorio coi teoremi precedenti, perchè esistono infinite caratte- 
ristiche, che incontrano C in due punti (uno posto su F, uno 
posto su N’), anzichè in uno soltanto. 
Noi dimostreremo ora un teorema più generale. Dimostre- 
remo cioè che per determinare un integrale « della (1) si pos- 
sono dare (ad arbitrio) i suoi valori lungo due curve , l', uscenti 
rispettivamente da due punti distinti A, A' di una stessa carat- 
teristica y=0, e lungo il segmento A4' di questa caratteristica. 
Il teorema, enunciato con precisione, è il seguente: 
Nel quadrante positivo del piano (x, y) sia dato un arco di 
curva T (0) che sia incontrato da ogni caratteristica in non più 
di un punto, che abbia in ogni punto una tangente variabile con 
continuità (la quale non sia mai parallela a uno degli assi coor- 
dinati) e che infine sia terminato a un punto A (A') della carat- 
teristica y= 0 e a un punto B (B') della caratteristica x = 0. I 
due archi F, T' siano sempre a distanza finita l'uno dall'altro; i 
punti A, A’, B, B' siano distinti dall'origine O. Sia p. es. 0A">OA; 
sarà pure 0B'>OB. Se allora OA', OB' sono sufficientemente pic- 
coli (*), esiste nel rettangolo R (di cui O, A', B' sono tre vertici) 
uno e un solo integrale u della (1), che sugli archi AB, A'B' e 
sul segmento AA' (oppure sul segmento BB') assume valori prefis- 
sati arbitrariamente. 
Non si diminuisce la generalità, supponendo che questi va- 
lori siano nulli; infatti se @ è una funzione, che in T, [', Ad' 
prende i valori prefissi, la funzione v= u — @ si annulla sul, 
r', AA' e in È soddisfa alla: 
Wy d? i dv d@ de i) 
ag a iui dg La 
LL HIR+ oto ag). 
Basterebbe quindi studiare questa equazione, anzichè la (1). 
Supponiamo dunque senz'altro nulli i valori prefissati su [, 
r', AA'. Porremo poi, come suggeriscono i noti metodi delle 
approssimazioni o integrazioni successive: 
u=limu, 
n= 
(*) Ciò che si può sempre ottenere con una conveniente omotetia di 
centro 0. 
