E TIPS 
ALCUNI NUOVI PROBLEMI CHE SI PRESENTANO, ECC. 621 
numero finito di termini, usando di procedimenti analoghi a 
quelli di cui si serve il Goursat (loc. cit.). In modo analogo si 
trovano limiti superiori per Mx), \'(#); e se ne conclude che esiste 
una costante K, tale che: 
COR | DA 
dY 
|w| <KME; (SE 
w 
dx 
KML. 
Noi abbiamo così imparato a costruire successivamente le w,; 
e ci basterà dimostrare che il lim, esiste e ci dà effettivamente 
n=% 
un integrale della (1), che soddisfa alle condizioni volute. Ba- 
sterà, come è noto, dimostrare che la serie Z|u,—,,1| è uni- 
formemente convergente in È. Indichiamo con M, il più grande 
dei massimi valori assoluti in È delle differenze: 
dun dQunsi | | dun dunsr | 
de da È | dy dy | 
|un—Unsrl, | 
Ricordiamo che: 
O (nti si Un+2) e È Un D) Un À | Ò UnHt1 QUn+1 
dedy SH de” dy' ssaa y) np de *  dy 
Un 2} y) 
Il secondo membro di questa uguaglianza per le ipotesi 
fatte sulla f, è minore di HM,, dove H è una costante; e quindi, 
poichè u,;1 — n: si annulla su ,', AA", avremo per i risul- 
tati precedenti, che M,., è minore della più grande delle quan- 
tità KAM., KHM,l?. Se, per fissare le idee, supponiamo p. es. 
l<1, avremo che: 
M,..x< KHIM, 
e quindi: 
M,.:<(KH)) M, (S== 19283. 50 
Ora poichè |%w,4: — nssu1 | <M.,,, ne trarremo che, se / è 
abbastanza piccolo, la serie Z|, —wn,:| è in R assolutamente 
e uniformemente convergente. La uo +4 (u;—w;_:) tende dunque 
Il 
uniformemente a un limite w, ecc., ecc. 
Esiste quindi un integrale « della (1) soddisfacente alle 
condizioni volute. 
E questo integrale (se Z è abbastanza piccolo) è unico. Sia 
