622 GUIDO FUBINI 
infatti v un altro integrale della (1), soddisfacente alle condi- 
zioni imposte su [, [, AA'. Poniamo o, = v — «n: i metodi pre- 
cedenti dimostrano che lim(v — «,) = 0 ossia che v=w c. d. d. 
Osservazione. — Notiamo però che le derivate prime (di w 
e quindi anche) delle «, e della « avranno in generale una 
discontinuità di prima specie in quei punti £,', tali che il cor- 
rispondente punto È; coincide con A. Queste discontinuità spa- 
riscono (se w(x,0)=0) nel caso generale, se i dati valori al con- 
torno sono p. es. tali che.si possa scegliere la @ in guisa che 
il secondo membro di (1’) sia nullo per y=v=0 (*). Noi po- 
tremmo, volendo, limitarci allo studio di queste ultime condizioni 
al contorno, ponendo «= suT,T", AA", dove © è una funzione 
che soddisfa alla condizione predetta. 
$ 2. — Noi ora vedremo come il teorema testè dimostrato 
include come casi limiti molti teoremi, alcuni notissimi, altri, 
credo, affatto nuovi e abbastanza notevoli. 
I° Caso limite. — Se F, " sono infinitamente vicini, il nostro 
teorema si riduce al teorema più sopra accennato che esiste uno 
e un solo integrale della (1), che su T prende valori arbitraria- 
mente prefissati, insieme alla sua prima derivata normale. 
IL° Caso limite. — Se A, A' divengono infinitamente vicini, 
il nostro teorema si riduce al citato teorema di Goursat. 
III° Caso limite. — I punti B, B' divengono infinitamente 
vicini (coincidono). In tal caso il secondo membro di (2) contiene 
ancora un numero finito di termini, ma questo numero cresce 
indefinitamente se £y' tende al punto limite B. In tal caso si può 
ancora, come sopra, dimostrare la |w|<XM?®, ma non si può 
più trovare un limite superiore delle derivate prime di w (almeno 
nel caso generale in cui la £ non è una funzione analitica). Se 
dunque ci limitiamo al caso generale che £ sia una funzione, così 
come si definisce nella teoria delle variabili reali, i nostri metodi 
saranno applicabili soltanto alle equazioni del tipo: 
i îu 
179 — = f(u, 2,9). 
(1%) co =f(4,2,9) 
(*) Questa condizione si traduce semplicemente in una relazione tra i 
valori delle derivate prime, che le funzioni, a cui si deve ridurre v su It; 
hanno rispettivamente nei punti A,A (rispetto all'arco di M,M): questa 
relazione dipende soltanto dalle f e dai valori imposti alla v sul segmento A4°. 
