ALCUNI NUOVI PROBLEMI CHE SI PRESENTANO, ECC. 623 
E per esse avremo il seguente teorema, che mi sembra non 
privo di interesse: 
Se 1 è abbastanza piccolo,'esiste uno e un solo integrale u della 
(1%) che sulle due curve T," (uscenti da uno stesso punto B e 
terminate a due punti A, A' di una stessa caratteristica) e sul 
segmento A A' di questa caratteristica prende valori prefissati ar- 
bitrariamente. 
Sarà opportuno fare due osservazioni: 
1° Il contorno formato da F, [', AA' è un contorno chiuso! 
Si è quindi trovata una prima classe di contorni chiusi, su cui 
si possono prefissare ad arbitrio i valori di un integrale u di una 
equazione (1°) di tipo iperbolico (il quale integrale ne resta uni- 
vocamente determinato) appunto come avviene per le equazioni del 
tipo ellittico! 
2, Il precedente teorema è in apparente contraddizione col 
teorema di Goursat: infatti per il teor. di Goursat noi possiamo 
bensì dare i valori di « lungo F,T", ma non già lungo AA'; 
questi ultimi anzi sono determinati dai precedenti. La contrad- 
dizione è soltanto apparente: infatti nel caso attuale l'integrale u, 
testè considerato, in generale non è continuo, ma ha una disconti- 
nuità di seconda specie nel punto B. Ed è abbastanza intuitivo 
che ciò debba avvenire: infatti il punto B non è che un caso 
limite del segmento B£', e si deve quindi considerare (mi si 
consenta l’ espressione) come un segmento infinitesimo. Se non 
m’inganno, questa curiosa classe di integrali per la (1°) non è 
stata ancora osservata. 
IV° Caso limite. — Supponiamo che i punti A, A' coinci- 
dano in un punto A della retta y=0 e che i punti 5, B' coin- 
cidano in un punto B della retta x = 0. Le curve F,' non 
abbiano poi alcun altro punto comune. Tiriamo nel quadrante 
positivo una retta y= cost, che incontri FT," rispettivamente 
nei due punti M, M'. Costruiamo al modo di Goursat, quell’in- 
tegrale «, di (1°) che esiste nell’area AMM' (e quindi anche 
nel rettangolo, di cui A, M sono due vertici opposti, e i cui lati 
sono rette caratteristiche) e che sugli archi AM, AM' (posti ri- 
spettivamente su [,') prende i valori prefissati. Esso assumerà 
su MM' certi valori. Costruiamo quindi nell’area BMM' quel- 
l'integrale ws della (1%), che su MM' coincide con wu, e sugli 
archi BM, BM' prende i valori prefissati (cfr. III° Caso limite). 
