ALCUNI NUOVI PROBLEMI CHE SI PRESENTANO, ECC. 627 
considerazioni già svolte ($ 1) ci limiteremo allo studio della (4); 
il cui integrale generale è: 
tO, = Ha, Y, 2) str My, 2) da u(e, 2) ate v(e, )) 
dove F(x,y,2)= Va ffay [fpde. Come già facemmo al $ 1, po- 
tremo limitarci a determinare le À, u, v in guisa che w sia nullo 
su X, 2, x",0,0'. Osserviamo che le ), u,v non sono singolar- 
mente determinate; chè, se noi indichiamo con X, Y, Z delle fun- 
zioni rispettivamente di x, y, 2, e poniamo \+-Y+Z, h+X—-4, 
v—-X—Y al posto di À, h, v, l'integrale w non cambia. Potremo 
dunque dare ad arbitrio le \, u sul piano = =0 ed anche la À 
sul piano y= 0. Noi supporremo, per fissar le idee, che per 
2=0 sia \=u=0 e che per y=0 sia \=0. Ora, poichè 
suo èw=F=AÀ=wu=0, sarà pure (in 0) v=0. Dai punti 
della curva AB tiriamo le parallele all’ asse delle 2, fino a 
incontrare Z' in una certa curva. Sia M il punto di questa 
curva, che è più vicino al piano xy; costruiamo il piano n, 
uscente da M e parallelo al piano xy e sia 2=# l'equazione 
di mt. Siano B, A4;, B;/A;', B,'' A; le curve di intersezione del 
piano m rispettivamente con le superficie X, 2", 2"; i punti A4,, 
A, Ai (B,, B;', B;'") giacciano sul piano x2(y2). Sia ora N un 
punto di 0’, o di X' o di X", posto entro la striscia 0328; 
la sua proiezione N, sul piano xy cadrà entro l’area 0. Ora w 
per ipotesi è nullo tanto in N, che in Ny; quindi (*): 
FIN) + MN) + u(N) + v(N) =0 
F(No) + MNo) 4- (No) + v(No) = 0. 
Sottraendo membro a membro, avremo, poichè (N) =Y(N): 
FIN) — F(No) — [MN ) + uNo)}= — PN) + u(N)}. 
E poichè per ipotesi ), u sono noti (nulli) in N), questa 
equazione determinerà il valore di \-+ u nel punto N. Perciò, 
se è 0<%=t, la somma A(y, 2) +u(%, 2) è nota tanto sulle 
(*) Al solito indicheremo con F(N), F(M), MN)..., i valori che 7, A,... 
hanno rispettivamente nei punti N, No. 
