714 LUIGI BIANCHI 
Sulla deformazione delle superficie flessibili ed inestendibili. 
Nota del Socio LUIGI BIANCHI. 
Sil; 
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Teoremi generali sulla deformazione. 
Si sa che nella teoria generale della deformazione delle 
superficie, supposte flessibili ed inestendibili, le linee assintotiche 
si differenziano da tutte le altre linee tracciate sulla superficie 
per la seguente proprietà, che ha fatto dar loro il nome di linee 
di piegamento. Mentre qualunque linea non assintotica cangia 
necessariamente di forma quando la superficie si flette, invece 
attorno ad una assintotica, mantenuta rigida, è possibile ancora 
flettere in infiniti modi la superficie. Fin qui però la deduzione 
di questa importante proprietà era fondata unicamente sul fatto 
che negli sviluppi in serie, ottenuti per definire analiticamente 
le possibili configurazioni di una superficie con assintotica rigida, 
rimangono infiniti coefficienti indeterminati. Ma la convergenza 
di questi sviluppi non era in generale dimostrata; e solo in 
pochi casi particolari si era confermata, mediante integrazione 
diretta, la legittimità della conclusione (*). 
Come si vedrà nella presente Nota, basta applicare alle equa- 
zioni trovate da Darboux per le assintotiche virtuali di una su- 
perficie i risultati generali della teoria delle equazioni a derivate 
parziali per stabilire in tutto rigore il teorema in discorso, e 
fissare nel tempo stesso il grado di arbitrarietà, che resta nella 
deformazione di una superficie con assintotica rigida. 
Dimostro a tale oggetto il teorema fondamentale seguente: 
A) Tracciate ad arbitrio sopra una superficie S, a curvature 
opposte, due curve C, 0", uscenti da un medesimo punto ordinario 
(*) V. DarBoux, Lecons, t. III, pag. 280. 
