SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI, ECC. 719 
di S, ed ivi non tangenti, esiste una deformazione della superficie 
che rende ambedue le curve C,C' assintotiche (di diverso sistema) 
della superficie deformata (*). 
Per stabilire questo teorema bastano quelle semplici con- 
dizioni di continuità che, nella teoria delle equazioni a derivate 
parziali del 2° ordine del tipo iperbolico, assicurano l’applica- 
bilità del metodo di Picard delle approssimazioni successive. Ma 
se ci limitiamo a considerare superficie analitiche e le loro de- 
formazioni analitiche, possiamo completare la proposizione col 
teorema di unicità: 
A') Esiste una ed una sola deformazione analitica S, che rende 
insieme assintotiche due curve (analitiche) C, 0", incrociantesi sopra S. 
Supponendo nel teorema A) che una delle curve C, Cl”, per 
esempio la ©, sia già un’assintotica di S, nella configurazione 
attuale, se ne deduce l’altro teorema: 
B) Attorno ad una assintotica C, mantenuta rigida, si può 
flettere la superficie S in guisa che un’altra curva arbitraria C', 
uscente da un punto di C, diventi assintotica del secondo sistema. 
La deformazione è certamente unica nel caso analitico. 
Così è stabilita la proprietà fondamentale delle assintotiche 
come linee di piegamento; e viene inoltre fissato il grado di 
libertà inerente a tali deformazioni con assintotica rigida, come 
dipendente da una funzione arbitraria di una variabile. 
Una conseguenza notevole si trae dalla proposizione prece- 
dente applicandola al caso della deformazione di una superficie 
rigata (analitica), nella quale si mantenga rigida una generatrice. 
Si ottiene così il teorema: 
C) Se in una superficie rigata analitica (non sviluppabile), 
supposta flessibile, si mantiene rigida una generatrice, tutte le altre 
generatrici restano necessariamente rigide. 
Tale proprietà, che può a prima vista sembrare singolare, 
trovasi confermata direttamente, nel caso analitico, dall’uso op- 
portuno delle equazioni di Gauss e Codazzi. Ed in un caso par- 
ticolare importante, quello della elicoide rigata ad area minima, 
sia nello spazio euclideo sia in quello generale a curvatura 
(*) Nel caso particolare delle superficie pseudosferiche questa propo- 
sizione trovasi già stabilita nelle mie: Lezioni di geometria differenziale, 
vol. II, pag. 389. 
