SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI, ECC. 719 
dalle quali, poichè il determinante funzionale: 
du du 
dv dB 
da dB 
non è nullo, seguono le (3); ora queste caratterizzano, come si 
è detto, le linee (a, B) quali assintotiche virtuali. 
Non tralascieremo di osservare che le equazioni (A) di 
Darboux valgono non solo nello spazio euclideo (a curvatura 
nulla), ma più in generale in uno spazio a curvatura costante o. 
Soltanto bisognerà in tal caso sostituire alla curvatura «sso- 
luta K della superficie S la sua curvatura relativa k, data da: 
ki hi= eis 
Per una superficie S ad assintotiche reali come qui si sup- 
pone, questa curvatura % è invero negativa, e se si pone: 
k= — DI 3 
le formole (3) continuano ad esprimere le condizioni necessarie 
e sufficienti perchè le linee (a, 8) siano assintotiche virtuali (*). 
Tutti i teoremi generali enunciati, che andiamo ora a dimo- 
strare, sussistono quindi negli spazì di curvatura costante come 
in quello euclideo. 
Dimostrazione del teorema A). 
Da un punto O della superficie S facciamo uscire, in dire- 
zioni diverse, due curve arbitrarie ©, C' e cerchiamo un sistema 
di assintotiche virtuali (a, 8) di S, tali che le due curve prefis- 
sate C,C° appartengano l’una al sistema (8) l’altra al sistema 
(a). Per fissare le idee, poniamo che la C debba coincidere 
colla B=0 e la C' colla a=0; prendiamo inoltre per para- 
(*) Cfr. Lezioni, vol. I, pag. 504. 
