720 LUIGI BIANCHI 
metri a, 8 i rispettivi archi delle curve C, C', contati a partire 
da O. Verremo per tal modo a conoscere lungo le curve €, C' 
le funzioni v,v di a, 8 rispettivamente, e sia: 
ua, 0) =f(0), v(a, 0) = p(a) 
u(0, B) SS f.(8), v(0, B) = (8) (E 
Per risolvere il nostro problema geometrico dobbiamo dunque 
integrare il sistema (D) colle condizioni ai limiti (5). Dimostriamo 
subito inversamente che ad una tale coppia: 
u(a, 8), v(a, B) 
di soluzioni delle equazioni (A) corrisponde una soluzione del 
nostro problema geometrico. E infatti queste funzioni «, v sa- 
ranno intanto fra loro indipendenti, poichè sono distinte le due 
curve C, C', e quindi le linee (a, R) traccieranno (pel $ 2) sopra S 
un sistema di assintotiche virtuali. Ma poichè v,v si riducono 
per B=0 alle funzioni f(a), (a) prefissate, la curva B=0 verrà 
precisamente a coincidere colla C; e similmente la a=0 colla C*. 
Il problema analitico in cui abbiamo così trasformato la 
nostra questione geometrica consiste adunque nel trovare una 
coppia di soluzioni delle equazioni (A) del 2° ordine del tipo 
iperbolico, colle caratteristiche reali a, f, in guisa che lungo le 
due caratteristiche B= 0, a =0 le funzioni incognite «,v si 
riducano alle funzioni prefissate (5). I primi membri delle equa- 
zioni (A) sono funzioni quadratiche delle derivate prime: 
du du de do 
da’ dB’ da’ dB’ 
con coefficienti funzioni di «,v, che noi supponiamo finite e con- 
tinue insieme alle loro derivate parziali prime rapporto ad «, v 
in un certo campo (**). In queste condizioni il metodo delle ap- 
(*) Si noti che, pel significato dato ai parametri a, 8, le funzioni f(@), 
(a) non sono indipendenti, ma legate dalla relazione: 
di " df_ do (e) I 
(SE Traci da da pis da sa 
analogamente dicasi di f,(B), @;(B). 
(#*) Basta per ciò che E, F, G siano funzioni finite continue di «, ® fino 
alle derivate parziali del 4° ordine. 
