SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI, ECC. 721 
prossimazioni successive di Picard (*) è certamente applicabile 
e ci assicura della esistenza delle soluzioni domandate. Sussiste 
dunque il teorema fondamentale A). 
Restringendoci ora al campo analitico, supponiamo che £, 
F, G siano funzioni analitiche olomorfe di «,v e sviluppabili 
quindi in serie di potenze di u— wo, v— ©, essendo vo, v i Va- 
lori iniziali per a=0, B=0 dati dalle (5), ossia le coordinate 
del punto iniziale 0. Supponiamo anche naturalmente che le fun- 
zioni f(a), (a); f;(8), 9:(8) di a e R siano olomorfe nell’intorno 
di a=0 le prime, di 8=0 le seconde. Potremo trovare una 
coppia di funzioni olomorfe w,v di a, 8 date dagli sviluppi in 
serie: 
0...00 
0.. 
u = DE Win o 14 Vv = xi Din a”"p” 
mn my 
che soddisfino alle equazioni (A) ed alle condizioni iniziali (5), 
e questa coppia sarà unica. L’unicità risulta intanto subito da 
ciò che le (A) successivamente derivate, e le (5) bastano a cal- 
colare nel punto a= 0, B=0 tutte le derivate: 
| mitra ) Ot 
da” dp” a=0’ | dan dp a=0° 
B=0 B=0 
e quindi 1 valori dei coefficienti @mn, Oman Quanto alla conver- 
genza effettiva di questi sviluppi si stabilisce ripetendo consi- 
derazioni affatto analgghe a quelle svolte p. e. dal Goursat a 
pag. 184 del suo trattato (Tome 1) (**). 
Così resta dimostrato anche il teorema A/'). 
Dobbiamo ora osservare che l’esistenza e l’unicità del si- 
stema integrale è assicurata solo in un intorno sufficientemente 
piccolo del punto iniziale a = 0, B=0. 
Corrispondentemente l’esistenza della deformazione richiesta, 
che riduce ambedue le curve €, C' assintotiche, viene assicurata 
soltanto per una regione convenientemente ristretta, ma finita, 
circostante sulla superficie al punto O d’incrociamento delle due 
curve prefissate. 
(*) Mémoire sur la Théorie des Equations aux dérivées partielles (* Journ. 
de Mathématique ,, 1890). 
(**) Lecons sur l’intégration des équations aux dérivées partielles du second 
ordre. Paris, Hermann, 1896. 
