122 LUIGI BIANCHI 
84. 
Deformazioni con un’assintotica rigida. 
Supponiamo ora che delle due curve €, C' nel teorema ge- 
nerale A) la prima C sia già assintotica della superficie S nella 
sua configurazione attuale, ma non la seconda Cl". Esisterà una 
deformazione della S che, lasciando la C assintotica, renderà 
assintotica anche la C'; di più, almeno nel caso analitico, la de- 
formazione sarà certamente unica. È facile vedere che in questa 
deformazione l’assintotica C rimane rigida. E invero la sua prima 
curvatura non varia, perchè sempre eguale alla curvatura geo- 
detica di C; ma nemmeno la sua torsione varia, poichè il qua- 
drato di questa eguaglia, pel teorema d’ Enneper, la curvatura K 
della superficie cangiata di segno. Resta così stabilito il teo- 
rema B), che assicura l’esistenza delle deformazioni con una as- 
sintotica rigida e ne fissa il grado di libertà in una funzione ar- 
bitraria di una variabile, p. es. la curvatura geodetica della C" in 
funzione dell’arco s. È chiaro che in queste deformazioni spe- 
ciali, vincolate alla rigidità di una data assintotica, una curva 
prefissata sulla superficie non può più assumere una forma ar- 
bitraria come nelle deformazioni perfettamente libere. Al con- 
trario le varie forme possibili per una curva F saranno vincolate 
da una relazione differenziale fra gli elementi che definiscono 
intrinsecamente la curva, p. es. la flessione e la torsione di 
quali funzioni dell'arco. Queste relazioni differenziali non si cono- 
scono però fino ad ora che nel caso particolarmente semplice 
delle deformazioni delle superficie rigate con generatrici rigide, 
su cui ritorniamo più avanti. 
A conferma di questi teoremi generali sulla deformazione 
ricorderemo varî casi particolari ben noti. Il primo e più sem- 
plice esempio si ha nelle superficie d’elemento lineare: 
ds? = (1 — u?) du? 4- u?dv?, 
che sono le evolute delle superficie W colla relazione: 
fra i raggi principali di curvatura. 
Per la corrispondente classe completa di superficie applica- 
