724 LUIGI BIANCHI 
$ 5. 
Deformazione delle superficie rigate. 
Prendiamo una superficie rigata flessibile ed inestendibile e 
deformiamola, secondo il teorema B), mantenendo rigida una 
generatrice 9 (assintotica). Se ci poniamo nel caso analitico, la 
deformazione è determinata in modo unico quando sia fissata 
una curva €, intersecante 9, che debba diventare assintotica 
dopo la deformazione. Ma, per le note ricerche di Beltrami (#), 
si sa che possiamo rendere altresì assintotica la curva € con 
una deformazione che lasci rigide tutte le generatrici della ri- 
gata. Dunque, le due deformazioni coincidono e si ha l’enunciato 
teorema 0): o 
Sopra una superficie rigata S tutte le generatrici restano ri- 
gide quando tale si mantenga una di esse. 
Come corollario si può notare che: 
Se in una quadrica rigata restano rigide due generatrici di 
diverso sistema, l’intera superficie rimane rigida. 
Ritornando al nostro teorema generale C), osserviamo che 
lo studio delle particolari flessioni delle rigate con generatrici 
rigide, dovuto a Minding e Beltrami, appare ora come il primo 
e più semplice esempio del problema di determinare tutte le 
flessioni di una superficie con assegnata assintotica rigida. 
Poichè la dimostrazione del nostro teorema (€) è stata ot- 
tenuta per una via alquanto indiretta, non sarà inutile dimostrare 
come esso segua anche dalle formole di Codazzi, sempre rima- 
nendo nel caso analitico. Riferiamo perciò la rigata ad un sistema 
coordinato (v,v) di cui le v= cost siano le generatrici, rima- 
nendo le u= cost arbitrarie. Indicando con D, D', D'' i coefficienti 
della seconda forma quadratica fondamentale, per una superficie 
qualunque S applicabile sulla rigata, e ponendo: 
NZ ni A DM A'==2è i DE 
Vae=Pi le (er 
(*) Sulla flessione delle superficie rigate, È Annali di Matem. ,, serie I, 
t. VII (1865). Opere, vol. I, pag. 208 s. s. Vedi anche le mie Lezioni, vol. I, 
pag. 265. 
