728 LUIGI BIANCHI 
vpi 
T 
ellittico invece, di curvatura K,= + 1, la superficie ha l’ele- 
mento lineare: 
essendo il parametro del movimento elicoidale. Nello spazio 
(10) ast = du? + ( costu + 0") dre, 
e nell’iperbolico, di curvatura K,= — 1, l’altro: 
(11) ds? = du? + | cosh®u + SE) dr. 
Le generatrici v= cost e le loro traiettorie ortogonali 
u= cost (eliche) sono le assintotiche della superficie. 
In tutti tre i casi si verifica subito che la seconda delle 
equazioni (D) di Darboux diventa: 
do pl 
dad = = 
onde integrando: 
(12) v= f(a) + F(8). 
Di qui, con una considerazione semplicissima, segue subito 
in tutta generalità il teorema C) pel caso attuale. Suppongasi 
infatti che sopra una superficie S applicabile sul nostro elicoide 
una delle generatrici, p. e. la v=0, si sia conservata rettilinea 
(assintotica) e coincida poniamo colla a = 0. Avremo dunque 
dalla (12): 
#0) + F(8)=0, 
dopo di che la (12) si scrive: 
r= fila) — f(0) 
e dimostra che tutte le linee v= cost sono assintotiche e quindi 
rettilinee, c. d. d. 
A riguardo di queste superficie aggiungiamo le osservazioni 
seguenti. 
