SULLA DEFORMAZIONE DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI, ECC. 729 
Le loro deformate rigate sono le superficie luogo delle bi- 
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normali alle curve di torsione costante La quelle invece in cui 
una e quindi tutte le generatrici hanno perduta la forma retti- 
linea sono le evolute delle superficie a curvatura costante con 
assintotiche reali. Il problema di deformare queste superficie in 
modo da far loro acquistare due prefissate curve per assinto- 
tiche conduce sempre alla medesima equazione : 
da integrarsi con valori prefissati per w lungo due caratteristiche. 
Infine osserviamo che l’intima ragione del fatto perchè i 
problemi della deformazione della superficie (9) nello spazio eu- 
clideo, o della (10) nello spazio elittico, o infine della (11) nel- 
l’iperbolico, sono problemi equivalenti, dipende dalla circostanza 
seguente. Queste superficie sono rappresentabili l’una sull’altra, 
con semplici formole che qui omettiamo, in guisa che si corri- 
spondono le linee assintotiche attuali (u,v) ed insieme le loro 
linee geodetiche. Secondo i risultati e le denominazioni introdotte 
in una mia Nota nei Rendiconti dei Lincei (**), esse sono quindi 
superficie coniugate in deformazione; si corrispondono cioè anche 
tutti i loro sistemi di assintotiche virtuali. In particolare ad ogni 
superficie rigata applicabile sull’elicoide rigata d’area minima 
nello spazio euclideo ne corrisponderà una analoga nello spazio 
ellittico e nell’iperbolico, ciò che dà luogo ad una relazione 
corrispondente fra le curve a torsione costante nei due spazî. 
= 1, l'equazione cor- 
. : ; E vio 
(*) Però se siamo nello spazio ellittico ed è 7? 
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rispondente è semplicemente 0 Si hanno allora le superficie a 
curvatura nulla in geometria ellittica (V. Lezioni, vol. I, $ 219-220). 
(**) Sopra un problema relativo alla teoria della deformazione delle su- 
perficie (aprile 1902). 
