766 FRANCESCO SEVERI 
Sul teorema di Iriemann-Roch e sulle serie continue di curve 
appartenenti ad una superficie algebrica. 
Nota di FRANCESCO SEVERI. 
In una recente Nota (*), il sig. Enriques ha stabilito il 
teorema che “ sopra una superficie algebrica ogni serie continua 
completa di curve, ha la serie caratteristica (**) completa ,, 
rilevando come questo risultato fornisca una proprietà che ca- 
ratterizza le superficie irregolari. Infatti, se il genere nume- 
rico p, è minore del genere geometrico p,, ogni sistema lineare 
regolare (la cui serie caratteristica ha la deficienza p, — Pa) 
dovrà esser contenuto in un sistema continuo completo non 
lineare, il quale anzi si comporrà di 00?9-?e sistemi lineari (***). 
Questo risultato può essere precisato: 
Sopra una superficie di generi Pa, Pa (Py = Pa) Ogni curva, ir- 
riducibile o riducibile, di genere e grado virtuali n, n, e di indice 
di specialità i (2 0), per cui sia: 
Popbn_cna+t1—-120, 
(*) Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari 
(“* Rend. della R. Accad. di Bologna ,, 1904). — Vedasi pure la mia Nota: 
Intorno alla costruzione dei sistemi completi non lineari che appartengono ud 
una superficie irregolare (£ Rend. del Circolo mat. di Palermo ,, t. XX, 1905), 
ove ho esposto un’altra dimostrazione del teorema surriferito, poggiandomi 
sempre sul principio di Enriques, che una curva variabile con continuità, 
non può spezzarsi senz'acquistare nuovi punti doppi. 
(**) Per serie caratteristica di un sistema continuo di curve, s° intende 
la serie lineare di gruppi di punti, segata sopra una curva generica, dalle 
curve infinitamente vicine del sistema. Cfr. Severi, Osservazioni sui sistemi 
continui di curve appartenenti ad una superficie algebrica (* Atti della R. Acc. 
delle Scienze di Torino ,, vol. XXXIX, 1904). 
(***) Sotto questa forma il teorema trovasi adoperato nelle ricerche re- 
centi di CasreLnuovo (“ Comptes rendus ,, 23 gennaio 1905) e Severi (“ Atti 
della R. Accad. delle Scienze di Torino ,, 22 gennaio 1905; e * Comptes 
so 2 aprile 1905). 
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