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SUL TEOREMA DI RIFMANN-ROCH E SULLE SERIE CONTINUE, ECC. 767 
appartiene sempre : 
1) ad un sistema lineare di dimensione 
r=Dqin_-n-I1-1; 
2) e ad un sistema continuo di dimensione 
pei a 
che, per p,>Pa; è composto di os Pa sistemi lineari non equivalenti. 
Il primo enunciato costituisce la più generale estensione ai 
sistemi lineari comunque riducibili, sopra una superficie, del noto 
teorema di Riemann-Roch; il secondo ha come analoga, nella 
geometria sulle curve di genere p, la proprietà che ogni gruppo 
di m(=p) punti appartiene ad un sistema continuo co”, com- 
posto di co’ serie lineari gn, non equivalenti tra loro. 
L'estensione del teorema di Riemann-Roch ai sistemi lineari 
irriducibili sopra una superficie, fu enunciata dal sig. NoETHER 
(“ Comptes rendus ,, 1886) nell'ipotesi p,=p,(= p). 
La giustificazione del risultato fu data da EnrIQUES (Ricerche 
di geometria sulle superficie algebriche, “ Memorie dell’Acc. di 
Torino ,, 1893), con restrizioni che risultarono poi sovrabbon- 
danti: da una parte stabilendo come la completezza della serie 
caratteristica dei sistemi lineari completi (cui il teorema può 
appoggiarsi secondo il sig. Noether), costituisca un carattere 
della superficie (1. c. IV, 1,2), che risultò poi coincidere con p, =; 
d'altra parte mostrando come la relazione 
rZp+n—-mn+1, 
sussista sempre pei sistemi lineari, i cui caratteri soddisfano a 
certe diseguaglianze (1. c. IV, 4,5). 
Il sig. CAstELNUOVO, in due Memorie pubblicate, la prima negli 
“ Atti della Società italiana delle Scienze , (1896) e la seconda 
negli “ Annali di Mat. , (1897), essendo riuscito a risolvere in 
modo esauriente la questione della deficienza della serie carat- 
teristica dei sistemi lineari, per p,7pa, potè dare la relazione 
r2Pao+tn_-TH41—i, 
pei sistemi lineari irriducibili sopra una superficie qualsiasi. 
Più recentemente, io ho esposto una nuova dimostrazione 
