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SUL TEOREMA DI RIEMANN-ROCH E SULLE SERIE CONTINUE, ECC. 775 
Di qui segue il teorema: 
Se sopra una superficie un sistema lineare di caratteri n, n, i, 
tali che 
Pa+n_—-Tat+1—-i20, 
appartiene ad una serie continua x” di sistemi linearî non equi- 
valenti (p=0), ogni altro sistema analogo apparterrà ugualmente 
ad una serie coP di sistemi lineari non equivalenti. 
7. — Resta da valutare p in funzione dei generi geome- 
trico ed aritmetico (p;, p.) della superficie. E per questo occorre 
fare uso del teorema che “ la serie caratteristica di un sistema 
continuo completo, è essa pure completa ,. 
Consideriamo il sistema lineare | L| che contiene le sezioni 
di F colle superficie di ordine / assai elevato, e designamone 
con TI, N, il genere ed il grado. La dimensione di | L| vale (n° 2): 
B=p+N-TMT+1. 
Sopra una curva generica L, le superficie aggiunte @"-*, 
segano la serie completa g»7! residua della serie caratteri- 
stica gî-! di | L| (rispetto alla serie canonica). Quest’afferma- 
zione non è infatti che un caso particolare di quella con cui si 
chiude il n° 2. 
Segue da ciò (pel teorema di Riemann-Roch) che la gf! è 
contenuta in una serie completa g?s*"7TT. Ora questa serie com- 
pleta è la serie caratteristica di un sistema continuo } L{ con- 
tenente |L|; la dimensione di }L{ vale dunque: 
FORIO AS 1] 
Si vede poi che } L{ sarà composto di infiniti sistemi lineari, 
non equivalenti; e la dimensione di un sistema generico |L| della 
serie varrà: 
R°p+N-MT+1 
Ma |L|, variando con continuità, può tendere ad |L], ed in 
questo passaggio al limite, £ non decresce; dunque: 
R=R, 
ed }L{ consta di coPy-Pa sistemi lineari. 
