854 CARLO SEVERINI 
Nella presente Nota io faccio vedere che di questa condi- 
zione può anche qui farsi a meno, e, ponendo soltanto che la 
f(x,y,y') sia finita ed assolutamente continua, dimostro che, se 
a, b, A, B soddisfano a certe condizioni (condizioni analoghe sono 
poste da PrcarD), esiste almeno un integrale dell'equazione data, 
che per «= ed «= assume rispettivamente i valori A e 5. 
Del metodo, che a tal’uopo sarà impiegato, mi giovo infine 
per accennare brevemente come, nel caso che esistano finite ed 
df(x,y,9) df(2,Y,Y) 
OY hip dy 
e sotto le condizioni di PrcArD per a, db, A, B, si possa, esten- 
dendo alcune mie precedenti ricerche sull’integrazione appros- 
simata delle equazioni differenziali ordinarie (*), costruire una 
serie di polinomi razionali interi, che nell’intervallo (a... B) con- 
verge in egual grado, e rappresenta l’integrale ora detto (neces- 
sariamente unico); e quindi anche un polinomio razionale intero, 
che ivi ne differisce in valore assoluto per meno di una quantità 
positiva, prefissata piccola a piacere. 
Il medesimo metodo serve allo studio di un’equazione di 
ordine qualunque »: 
assolutamente continue le derivate parziali 
dp da dv d°y dra 
sr Mg er 
per la quale c'è luogo a ricercare un integrale, che in m punti 
dati «= a;(i= 1,2,...,m; m3=n) assuma, esso e le sue prime 
a; — 1 derivate (0, + 09 + ...+ a, =), valori assegnati (**); e 
(*) “ Rend. del R. Ist. Lomb. di sc. e lett. ,, Serie II, vol. XXXI (1898); 
Bologna, Ditta Nicola Zanichelli, 1899. 
(**) Cid è stato fatto per altra via dal prof. NrccoLertI, nel caso che la 
funzione f(x, y, y/, ....y!_!) delle variabili reali , y,y,....y%), oltre ad es- 
sere reale, ad un valore, finita ed assolutamente continua, soddisfi all’ipo- 
tesi di LipscHITz: 
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140, VD) — f(, 4949, YO) SAT ip ya î 
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ove A indica una costante positiva, finita. Cfr. la Nota: Sulle condizioni 
iniziali che determinano gl'integrali delle equazioni differenziali ordinarie. 
Questi Rendiconti, vol. XXXIII (1898). 
