860 CARLO SEVERINI 
Segnaliamo un caso, in cui è necessariamente unico, che si 
ha quando la funzione f(x, y, y') non decresce al crescere di y e 
di y' nel campo dato C. 
Sotto tali ipotesi infatti, riprendendo le formole (5), vediamo 
che, per un « fisso, l’integrale della (1), rappresentato dalla (6), 
è una funzione non decrescente di y,' nell’intervallo (6G—L'... 
..L'-5G); e ciò basta al nostro scopo. 
$ 2. 
1° Noi siamo ora in grado di trattare il caso generale, 
in cui per la f(x, y,y') si fa soltanto l'ipotesi che sia reale, ad 
un valore, finita ed assolutamente continua nel campo C. 
Continueremo ad indicare con M ed m il massimo ed il mi- 
nimo di f(x, y, y') in C, e con G la maggiore delle tre quantità : 
R'ZAOA 
2° Ciò posto consideriamo le equazioni: 
(11) di _ Pi(x. a (v=1)/2/400) 
essendo le funzioni: 
Py(x, y. yY") (VESTA o) 
reali, ad un valore, finite ed assolutamente continue nel campo €, 
soggette alle condizioni: 
[f(@, yy) — Pre, yy) =gv (v=1,2,...,0), 
nelle quali gv indica il termine generale di una successione di 
numeri positivi, decrescenti e tendenti allo zero; e finalmente 
tali da avere, per ogni coppia di punti (x, 1 Y1"), (£,ys 42"), ap- 
partenenti a C e corrispondenti ad un medesimo valore di «: 
== 
(12) | Py(e, 41 1) — Po(&, Y2, 01) av! yy] +8v]y' 928 | 
(= 20) 
ove ay e fy sono quantità positive, finite, per ogni valore asse- 
gnato di v, che possono però variare al variare di v, e magari 
crescere oltre ogni limite. 
