GIUSEPPE VITALI — SULLE FUNZIONI INTEGRALI 1021 
Sulle funzioni integrali. 
Nota di GIUSEPPE VITALI a Genova. 
Come già in altra mia nota (*), noi diremo che un gruppo 
‘ di intervalli presi sopra una medesima retta è un gruppo di 
intervalli distinti, quando due qualsiansi di questi intervalli non 
hanno punti interni comuni, ed ampiezza di un gruppo di inter- 
valli la somma delle lunghezze dei singoli intervalli del gruppo. 
Sia F(x) una funzione finita della variabile reale x in un 
intervallo (a, 5), ed a<b. 
Se (a,8) è un intervallo parziale di (a, 5), ed a=a<B=8, 
noi chiameremo incremento di F(x) in (a, B)la differenza F(B)— (a). 
Diremo poi incremento di F(x) in un gruppo di intervalli par- 
ziali di (a, b) distinti la somma, se è determinata e finita, 
degli incrementi di (x) nei singoli intervalli. 
Se per ogni numero 0>0) esiste un numero u>0 tale che 
sia minore di 0 il modulo dell'incremento di f(x) in ogni gruppo 
di ampiezza minore di u di intervalli parziali di (@,d) distinti, 
si dirà che (x) è assolutamente continua. 
Infine diremo che (x) è în (a, b) una funzione integrale se 
e soltanto se esiste in (a, è) una funzione f(x) finita e somma- 
bile (**), per cui Fe) — F(a) = | f(a)de, per ogni x tale che 
asx<b. 
Io dimostrerò che: 
CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ UNA FUNZIONE 
F(x) sta IN (a, dD) UNA FUNZIONE INTEGRALE È CHE ESSA SIA ASSO- 
LUTAMENTE CONTINUA IN (a, db). 
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(*) G. Vrrari, Sui gruppi di punti, $ 2, “ Rend. del Circolo matem. di 
| Palermo ,, tomo XVIII, 1904. 
| (*#*) La parola sommabile ed il simbolo f (integrale) sono usati nel senso 
di Lesescur. Vedi Lecons sur l’intégration ete. par Henri Leseseue. Paris, 
Gauthier-Villar, 1904. 
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