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1022 GIUSEPPE VITALI 
$ 1. — Sia (x) una funzione assolutamente continua in (a, 8), 
e c>0. Indichiamo con u(0) il limite superiore dei valori di yu, 
tali che sia minore di o il modulo dell'incremento di F(x) in 
ogni gruppo di ampiezza minore di u di intervalli parziali di (a, 5) 
distinti. 
Sia x, un punto di (a, 5), per ogni x tale che a “xd e 
che ja — xo] < (0) è | F@) — F(a)|<0. 
Segue subito che: 
Una funzione assolutamente continua in (a, b) è continua in 
ogni punto di (a,b). 
Noi possiamo dividere (a, 6) in » parti uguali, » essendo un 
<u(0). 
Se F(x) non fosse a variazione limitata (*) in (a, 8) esiste- 
rebbe una delle n parti ottenute in cui (x) non è a variazione 
limitata. Sia (a, 8) una di queste parti. Sarà 8 —a< (0). 
Io potrò dividere (a, 8) con dei punti 
b—-a 
numero intero positivo per cui > 
Oo = <A <09< 0g... < 0, = B. 
in modo che: 
>| F(a) — F(a,_)|>20. 
= 
Delle differenze F(a,) — Fl(a;_), alcune potranno essere posi- 
tive ed altre negative. Indico con P la somma delle positive, e 
con N la somma delle negative. 
Sarà: 
P+|N|>2o, 
e quindi o P>0 o |N|>o. 
Ciò mostra subito l’esistenza di un gruppo di ampiezza mi- 
nore di u(0) di intervalli parziali di (a, 6), in cui il modulo del- 
l'incremento di F(x) è maggiore di 0. 
Si deve concludere che: 
Una funzione assolutamente continua in (a,b) è a variazione 
limitata. 
Ma una funzione può essere continua e a variazione limitata, 
senza essere assolutamente continua. 
(*) Vedi LeseseuE, loc. cit., p. 50 e seg. 
