SULLE FUNZIONI INTEGRALI 1023 
Per veder ciò si scelga su (a, 6) un gruppo G di punti che 
sia perfetto e di misura nulla. Il gruppo complementare sarà 
costituito dai punti interni ad un gruppo di segmenti a due a 
due distinti e senza estremi comuni. Indico con (a,, 8,) uno qual- 
siasi di questi segmenti. Poi considero un intervallo (0, 1) nel 
quale chiamo y la variabile. Ricordando la dimostrazione che 
Cantor dà per provare che un gruppo perfetto ha la potenza 
del continuo, noi possiamo stabilire fra G e (0,1) una corrispon- 
denza tale che ad ogni punto di G corrisponda «n punto di (0, 1), 
agli estremi di un medesimo intervallo (a,,,) corrisponda un 
medesimo punto y, di (0, 1), ad ogni punto di (0, 1) diverso dai 
punti y, corrisponda un punto di G, se x e x sono due punti 
di G non estremi di un medesimo intervallo (a,, B,) ed y e 7 sono 
i punti corrispondenti in (0, 1), a seconda che 2 > 0 2 <x 
sia y>Y 0 Y<yY. 
La funzione che è uguale ad y, in tutti i punti di (a,, B,) 
gli estremi compresi, e che in ogni altro punto è uguale al va- 
lore corrispondente di y in (0,1), è una funzione continua non 
decrescente in tutto (a, 5), e quindi a variazione limitata. 
Essa però non è assolutamente continua, perchè, per quanto 
piccolo sia u>0, io posso trovare un gruppo di intervalli par- 
ziali di (a, 6) distinti rinchiudente tutto il gruppo G ed avente 
un'ampiezza minore di u, e l'incremento della funzione consi- 
derata in tale gruppo di intervalli è uguale ad 1. 
$ 2. — Le variazioni totali (*) di una funzione assolutamente 
continua sono assolutamente continue. 
Dimostrerò il teorema per la variazione totale positiva. Allo 
stesso modo si potrà dimostrare per quella negativa. Consegue 
poi allora che è vero per la variazione totale. 
Sia (x) una funzione assolutamente continua. Conservo per 
essa le notazioni del $ precedente. Sia P(x) la sua variazione 
totale positiva. Siano (a,, p,) degli intervalli distinti formanti un 
gruppo di ampiezza minore di p(0). 
Sia e un numero positivo piccolo a piacere ma non nullo ed 
Cap Egi a, 6 da 
(*) Vedi per la denominazione, Lesescue, loc. cit., pag. 51. 
