SULLE FUNZIONI INTEGRALI 1027 
Sia ;. la. funzione che, per ciascun valore di x è uguale 
al più grande valore delle funzioni %;,1) U;+9 «44 Uj+i 
Le funzioni v;; sono funzioni finite e misurabili. 
Sia w; il limite della successione crescente 
Vi, Var »» 
Una w; potrebbe non essere sempre finita, però il gruppo 
dei punti in cui w,—=0, essendo a un numero finito qualunque, 
è misurabile. 
La & è il limite della successione decrescente 
Woy Wii Wa ... 
Di qui segue che i punti in cui 7a formano un gruppo 
misurabile. 
Ma allora, se a e B sono due numeri finiti e a<8 i punti 
in cui a<#<f formano un gruppo misurabile e, facendo ten- 
| dere a a —c0 e 8 a +, si vede che i punti in cui # è finito 
formano un gruppo misurabile. Un ragionamento analogo si ap- 
plica ad «. è 
Ora sia (x) una funzione continua in (a, 5), e sia 
Fc +1) — Fe) 
P(x,h)= ; 
La P(x,h) è continua rispetto al complesso delle varia- 
bili 2, %} quando A = 
Sia 4=/,>0 ed e>0. Esiste un 0, con 0<0<h;, tale che 
(1) | Pla, h,—00) — P(x, h)| £e 
per ogni x in (a, d) e per ogni 0 tale che 0<0<1. Sia 0 il 
limite superiore dei o per cui vale la (1). La (1) vale anche 
per 0,. Se 0;<,, pongo h°=l, — 01. Esiste un 0, con 0<0hs, 
per cui 
(2) | P(e, ha —00) 2% Pe, ho) | = €, 
per ogni x in (a, 8) e per ogni @ tale che 0=0<1. 
Sia 0, il limite superiore dei o per cui vale la (2). La (2) 
vale anche per 03. Se 03</s, pongo h3 = lg» — 93 e così di seguito. 
Atti della R. Accademia — Vol. XL. 68 
