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1028 GIUSEPPE VITALI 
La successione decrescente ,, lo, ..., 7, ... na manifestamente 
per limite zero. Siano P e Pi limiti di indeterminazione del li- 
mite delle funzioni 
ZERO: 
Per ogni P(x, kh), con 0<A<hA;, esiste un P(x, },) per cui 
| Ple, An) — Pe, h)| Ze, 
quindi indicando con A; e X} i numeri derivati destri superiore 
ed inferiore di F(x), si potrà dire che A; è finito dove e soltanto 
lo è P, ed analogamente per \,. Ma i punti in cui P è finito 
formano un gruppo misurabile, dunque i punti in cui A; è finito 
formano un gruppo misurabile. Analogamente dicasi per X; e pei 
numeri derivati sinistri di F(x) c. d. d. 
Riflettendo sulla precedente rapida dimostrazione si vede 
anche facilmente che: La funzione uguale a N; nei punti in cui Ai 
è finito è misurabile nel gruppo di questi punti. Cose analoghe 
stanno per gli altri numeri derivati. 
$ 5. — I punti in cui un numero derivato di una funzione - 
continua e a variazione limitata non è finito formano un gruppo 
di misura nulla. 
Una funzione continua a variazione limitata è la differenza 
di due funzioni continue non decrescenti (*). 
Basta dunque dimostrare il teorema per una funzione con- 
tinua non decrescente. 
Sia P{x) una funzione continua non decrescente. Indico 
con A; il suo numero derivato superiore destro. Basta manife- 
stamente dimostrare il teorema per A.. 
Sia G il gruppo dei punti di (a, 0) in cui A; è finito. G è 
misurabile. Sia u la sua misura. Dico che u=db—a. 
Sia u<b—a e gti 
di 
Posso rinchiudere G in un gruppo di intervalli distinti di 
ampiezza minore di pu -+ €. 
(*) Vedi LeBEscuE, loc. cit., pag. 54. 
