1030 i GIUSEPPE VITALI 
il gruppo di punti di misura nulla in cui essi non comprendono 
lo zero, con l il gruppo dei rimanenti punti di (a, b). Se a è un 
punto di F, facciamogli corrispondere il più grande intervallo 
(a, a+), (2>0), tale che 
f(a + 4h) — f(a) = eh, 
dove e è un numero positivo piccolo a piacere, che noi possiamo 
prefissare. Rinchiudiamo G in un'infinità numerabile di inter- 
valli d distinti, di somma minore di u. A un punto di G fac- 
ciamo corrispondere l'intervallo che va da esso all’ estremità 
destra dell’intervallo d che lo contiene. 
Noi ricopriamo (a, 5) a partire da @ per mezzo di una ca- 
tena di quegli intervalli che noi abbiamo definito per ogni punto 
di (a, 5). 
Siano (a,,8,) gli intervalli di questa catena, ed a,< $8,. Sarà 
X{ F(8,) — F(a){ = F(6) — Flo). 
La somma delle differenze /(8,) — F(a,) che corrispondono 
a punti di T è minore di e(f— a), quella delle rimanenti si può 
supporre in valore assoluto piccola quanto si vuole, purchè’ sì 
prescelga u abbastanza piccolo, essendo (x) assolutamente con- 
tinua, ma anche e è piccolo a piacere, dunque 
F(6) — F(a)<0. 
Ma allo stesso modo si vedrebbe che 
F(6) — F(a) 20. 
Dunque F(5) = Fa). 
Sostituendo a dun punto qualunque di (a, 8) si trova F(x)= Za), 
ossia F(x) è costante (*) c. d. d. 
Dalla proposizione dimostrata consegue che: 
Se due funzioni differiscono per una funzione assolutamente 
continua ed hanno per ciascun valore di x, all'infuori di quelli di 
(*) Il ragionamento usato in questo e nel precedente $ è analogo a 
quello usato dal Lesescue a pag. 78 del loc. cit., per dimostrare una pro- 
posizione meno generale dell'ultima da me dimostrata. 
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