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SULLE FUNZIONI INTEGRALI 1031 
un insieme di misura nulla, finiti ed uguali i numeri derivati su- 
periori destri, esse differiscono per una costante. 
In particolare: 
Se due funzioni assolutamente continue hanno per ciascun va- 
lore di x, all'infuori di quelli di un insieme di misura nulla, 
uguali i numeri derivati superiori destri, esse differiscono per una 
costante. 
$ 7. — Ricordo che il Lebesgue ha dimostrato (*): 
L'integrale indefinito di una funzione sommabile limitata am- 
mette questa funzione per derivata salvo în punti di un gruppo di 
misura nulla. 
Sia ora f(x) una funzione positiva e sommabile. Sia p nu- 
mero positivo ed o il gruppo dei punti in cui f(x)>p. La mi- 
sura di o tende a zero col tendere di p all’infinito. 
Ora sia 
f(x, p) 
la funzione che è nulla nei punti di £ e che nei rimanenti è 
uguale ad f(x). Per h>0 è 
[i Andes [1 Aaa: 
. . . . . È: I 
dunque il numero derivato inferiore destro \, di | f(e)dx è al- 
a 
meno uguale a quello di NC p)ldx. 
Ma f(x, p) è limitata e quindi il numero derivato inferiore 
destro di la f(x, p)dx coincide con f(x, p), all'infuori di un gruppo 
di punti di misura nulla. Consegue allora facilmente che i punti 
in cui non è \,7 f(x) formano un gruppo di misura nulla. Ossia, 
riassumendo: 
Se f(x) è una funzione positiva sommabile, e Ni è il numero 
È . Col . x 
derivato inferiore destro di f(x)dx, è punti in cui non è X:7£(x) 
va 
formano un gruppo di misura nulla. 
(*) Vedi Lesescue, loc. cit., pag. 124. 
