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SOPRA GL'INTEGRALI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI, ECC. 1037 
XY, y', soddisfacente, qualunque siano due punti (x, 4%, 71), 
(x, 72, J2°), alla disuguaglianza: 
bel 1:91) — f(x, 92,9:)|=e|4,— Gt BI4i — 9], 
e per ultimo uguale ad f(x, y,y') in ogni punto di C: è mani- 
festa l’esistenza di una siffatta funzione. 
La F(x,4,y',h,k,k'), quando 4, k,k" tendono comunque a 
zero, tende uniformemente ad f(x, y, y°) nei punti di C; di più 
per ogni 4,%,%' fissi, non nulli, è sviluppabile in serie tripla di 
potenze intere, positive di x, y,y', che in tale campo converge 
in egual grado (*). 
Per avere allora i polinomi (4) basta scegliere i valori A,,kn, fn, 
dei parametri ’, %, %', in modo che risulti, in ogni punto di C: 
0) 14,9) — F,4Y ly ky ko) |S 9% (0=1,2,..,%), 
e della serie, che rappresenta F(,v,%", ln kn kn), considerare 
un certo numero di termini, P,(7,y,y'), abbastanza grande, perchè 
si abbia: 
| I, 44 Ing ko kx) — P(0,4; 15% 
(7) | dF(x, y, ol lens kn) ___dPn GL Y) | <0, (n=1,2, ..., 00). 
| O, 4 Y's linkn kn) __dPal®,44) 6 
dy' dy l'a 
Si può infatti scrivere: 
Konus while o) 
(*) Cfr. le Memorie di Wererstrass, Uedber die analytische Darstell- 
barkeit ece. (“ Sitzungsber. der Pr. Akad. der Wiss. ,, 1885), ed il corso te- 
nuto a Berlino l’anno 1884. Cfr. anche Incram, Sulla rappresentazione ana- 
litica per una funzione reale di due variabili reali; Bologna, Tip. Gamberini 
e Parmeggiani, 1889. 
