[9] Über die Darstellung der Raumkurye vierter Ordnung u. s. w. 407 
Jede Fläche des Büschels enthält acht Tangenten. Ist nämlich 
a+ß=», a=ß, So ergibt sich « = so +3 ebenso y = — tm aus y+d=—ı, 
y=6. Die Berührungspunkte sind also zwei entgegengesetzte Quadrupel, 
von denen jedes zu einer der Regelscharen gehört. Bei den Kegeln, deren 
Regelscharen zusammenfallen, erhält man nur je vier Tangenten, deren 
Berührungspunkte Torsionsnullpunkte sind. 
Eine beliebige Ebene, welche die Kurve in «, ß, 7, d schneidet, be- 
rührt drei Flächen, nämlich 
ae+HBß= —(Y+), 
e+ty=—(d-+B), 
e+d=— (Hr). 
II 
Geht die Ebene durch eine Tangente, so fallen zwei derselben zu- 
sammen, etwa %» = —», für «=, der dritten gehört die Tangente an. 
Eine Schmiegungsebene berührt drei benachbarte Flächen. 
Ist schliesslich etwa «=ß,y=6, so ist die Ebene eine Doppel- 
Tangentenebene der Kurve. Es ist dann », = 2, = — ,, also 21, =0, m vu nm, 
d.h. einer der vier Kegel, während », eine beliebige Fläche sein kann. 
Hierher gehört der bekannte Satz: Das Doppelverhältnis der vier 
Tangentialebenen, die durch eine Sehne «3 gehen, ist eine Konstante der 
Kurve.') 
Ist nämlich «+ = v, so liegen die vier Tangenten, welche in den 
Tangentialebenen enthalten sind, in der Regelschar —v, die Berührungs- 
punkte sind atma-ı, 2,3,4). Verschiebtt man die Sehne «ß in der 
Schar v, so drehen sich die vier Ebenen um die Tangenten, ohne jedoch 
ihr Doppelverhältnis zu ändern. So kann man die Sehne verschieben, bis 
® . . . . D 
==, wird; dann aber sind die Tangentialebenen Doppeltangentialebenen, 
und jede berührt einen Kegel. Die Berührungsstrahlen, die Sehnen 5 — m 
. . . ® . .. . 
schneiden sich in > Das heisst aber, dass das Doppelverhältnis der Ebenen 
zugleich das der Kegel ist, also von » nicht abhängig. Bildet man die 
Gleichungen der Kegel nach (3), so kann man mit Hilfe der Identität 

1) Vgl. Harnack, Ann. 12, p. 76. 
Nova Acta LXXXV. Nr. 4. 52 
