[13] Über die Darstellung der Raumkurve vierter Ordnung u. s. w. 411 
derselben Art ist daher immer durch 32 teilbar, ausser in dem einen Fall, 
wo jeder Punkt u+c einem Punkt —u + kongruent ist. Ausute=—u+e 
folgt 1u=—4u, 8u=0. Man erhält so 64 Punkte, die aber nicht gleich- 
artig sind, da die 16 Punkte 4u = 0 Eigenschaften haben, die den 48 Punkten 
4u = 99, 93, 7, nicht zukommen. 
Die Punkte 4«=0 haben wir schon als Torsionsnullpunkte') kennen 
gelernt; ihre Werte sind 
1 
u=zm m: ,k =1, 2, 3,4). 
Sie bestehen also aus vier Quadrupeln, von denen das i-te auf der i-ten 
Tetraederebene liegt. Durch Addition zweier Werte « ergibt sich einfach: 
Durch jeden der Ebene i anliegenden Eckpunkt des Tetraeders geht ein 
Paar Gegenseiten des Vierecks Sm + m (k—1,2,3,4). Durch den Eckpunkt 
i dagegen gehen die Tangenten der Punkte Sm + m (k—=1,2,3, 4). Sind drei 
Schnittpunkte einer Ebene mit der Kurve T'orsionsnullpunkte, so ist auch 
der vierte einer. Es gibt 116 Ebenen, welche je vier verschiedene Torsions- 
nullpunkte enthalten. Denn liegen die Punkte in vier verschiedenen Ebenen 
des Poltetraeders, so kann man drei beliebig wählen und erhält also 
4.4.4 —64 Ebenen. Gehören aber je zwei zu einem Quadrupel, so kann 
man den Eekpunkt wählen, durch den die Ebene gehen soll, zwei Tetraeder- 
ebenen, in denen die Punkte liegen sollen, und in jeder eines von zwei 
Paaren, man erhält so 4.3.2.2—=48 Ebenen. Dazu kommen die vier 
Tetraederebenen selbst. 64 +48 +4 = 116. 
Schneiden sich die Tangenten von « und ß, so ist 2&+29=0, at = ni. 
Die Sehne «8 geht daher durch den i-ten Eekpunkt, und der Schnittpunkt 
der Tangenten liegt folglich auf der i-ten Ebene des Poltetraeders. Die 
Doppellinie der Tangentenfläche zerfällt daher in vier ebene Kurven 
D;@—=1,2,3,4). Die Kurve D; schneidet die Raumkurve in den vier T'orsions- 
nullpunkten Sn + n«(k—=1,2,3,4). In jeder Tangente von D; schneiden sich 
zwei Schmiegungsebenen der Raumkurve; sind diese stationär, so ist auch 
die Tangente stationär. Die Punkte St M (k—=1,...4) sind also zugleich 

1) Harnack, Ann. Bd. 12, p. 63. 
