[19] Über die Darstellung der Raumkurve vierter Ordnung u. s. w. 417 
Sind also die Formen a,, an, dr, dm U.8S.w. bekannt, so können die 
Formen Ya,+m@n_m U.8.w. aus ihnen rational berechnet werden, jede als 
gemeinsames Element zweier bekannter Involutionen. Durch wiederholte 
Anwendung dieser Formeln lassen sich schliesslich alle Formen a,, ba, €n, du 
aus a, d, c, d, rational berechnen. 
Nun sind allerdings die den Kegeln entsprechenden linearen Formen 
ay, di, cı, d, nicht rational bekannt, wenn das Büschel in der üblichen Weise 


durch zwei Flächen s.? = s.'? = s."? = s,“?—= 0 und r?=r,.?—=r,"?—=r,.?—0 


gegeben ist, sondern wir kennen nur a, d. i. die Diskriminante der Fläche 
Ar2—A"s2=0. Es ist 

a—(rrir'r 22, — Alrrr sp? A, 82, +HElrr' ss)? 2, 221,72? —Alrss's"')2 2,2," + (ss'ss" PR, "4. 
In den Koeffizienten der Formen a,, b,, c„, d„ werden also i. a. die 
Irrationalitäten der Gleichung « —0 vorkommen, aus den Formen a, jedoch, 
die wegen ihrer geometrischen Bedeutung Kovarianten der Diskriminante 
sein müssen, werden diese Irrationalitäten wieder verschwinden. Gewisse 
dieser Kovarianten konnten wir auf rationalem Wege aus a, finden. 
Es ist nämlich die Form //d,c,d,, welche den sechs Flächen entspricht, 
die die Kegel harmonisch trennen, die Jakobische Kovariante sechster 
Ordnung 7, von a. Somit ist 
= %bGodh —= TR. 
Diese Grösse lässt sich aber bekanntlich als biquadratische Form 
in den Variabeln a, und H, darstellen, wenn H, die Hessesche Kovariante 
von a, ist, und wir finden daher weiter /D,c,d, — 7, auf rationalem Wege 
und a, —=a,T,;? und so nach und nach alle Formen a(,”). 
Für das Folgende brauchen wir eine genaue Definition der Kovarianten 
einer biquadratischen Form F=a,!=bt=c,t Es sei 
H= —2(ab2a,2b,? = H,: 
T = —2(cH)c;3H.3 — 4 (ab)? (ca) axb22Cz° 
i— — 2(ab)t 
j= +2(cH) — —, (ab)? (bo(ca)?. 
Dann ist ?= H®+iHF:+3jF3,') also 
a4 — Hy’a, +, H,a? + ya}. 

2) 8. Clebsch-Lindemann, Vorles. über Geometrie. (Leipzig 1875). I,1, p. 229 ff. 
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