4 Einleitung. 



sowie auch die durch die auftretenden Geraden bedingten Eintheilungen der 

 Fundamentalflächen ins Auge gefasst worden. Es erfahren so die in der 

 frülieren Abhandlung bereits theilweise abgeleiteten Eigenschaften der Cf. 

 (60i5, 30^) vielfache Erweiterungen und Ergänzungen und ergeben eine Reihe 

 weiterer wichtiger Configurationen. 



Eine besondere Anwendung dieser allgemein durchgeführten Be- 

 trachtungen bildet sodann die Aufstellung der bereits von Vietor und 

 Reye auf synthetischem Wege ermittelten Collineationen und dualistischen 

 Umformungen der harmonischen Cf (24-9, IS^) und der Hexaeder- 

 Oktaeder-Cf (12e, I63). Durch ein bereits in einer früheren Abhandlung^) 

 von mir angegebenes und hier ausführlich entwickeltes Verfahren gelingt 

 es nunmehr leicht, diejenigen Transformationen zu erhalten, welchen einer- 

 seits die einfachen und doppelten Drehungen, andererseits die einfachen und 

 dreifachen Spiegelungen entsprechen, durch welche die drei als Sechzehnzeil, 

 Achtzeil und Yierundzwanzigzell bezeichneten regulären, linear begrenzten 

 Gebilde des vierdimensionalen Raumes mit sich selbst zur Deckung gelangen. 

 Analoges gilt für die hierhergehörigen eigentlichen und uneigentlichen Corre- 

 lationen. Die bei diesen Entwicklungen benutzte Methode der Uebertragung 

 einer Figur des dreidimensionalen ebenen Raumes auf den dreidimensionalen 

 sphärischen Raum (die Hypersphäre) dürfte vielleicht einiges Interesse be- 

 anspruchen. Die einschlägige Literatur, insbesondere die Arbeiten von 

 F. Klein, K. Rohn, R. Sturm, Th. Reye, A.Weiler, Clebsch-Linde- 

 mann, W. Reichardt, H. Maschke, van Oss, J. Feder, A. Schönflies, 

 A. Cayley, E. Study, Cole, Heath, Goursat u. A. sind an den 

 verschiedenen bezüglichen Stellen der Abhandlung berücksichtigt und 

 genauer angegeben. 



Die zweite Abhandlung enthält die genauere Untersuchung der 

 zuerst von mir^) abgeleiteten Cf. (ßO,,, 725) und der speciellen in ihr ent- 

 haltenen Cf (öe, IO3) mit durchweg reellen Elementen. Die linearen Trans- 

 formationen derselben werden unter den oben bezeichneten Gesichtspunkten 

 mit vorzugsweiser Benutzung tetraedrischer Coordinaten aufgestellt und aus 

 diesen sodann die entsprechenden Transformationen erhalten, durch welche 



1) Math. Anm. Bd. 28. 



