Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Confignrationen. 13 



es gehen also durch jeden Punkt i ^f (liegen in jeder Ebene i =(f: j 



vier Gerade d„. Der imaginären Fläche F gehören 1-44 imaginäre Punkte 

 i (Ebenen ' 1 und 24 imaginäre Gerade do an, jeder der neun reellen 



Flächen F — F ie 32 reelle und 112 imaginäre Punkte i (Ebenen t 



2 10 " \ 



und je acht reelle und 16 imaginäre Gerade do an. Die Gesamratzahl 



1. i44_i_9 (32+112) 

 dieser Punkte (Ebenen) beträgt also ^ ^ = 360, von denen 72 



reell, 288 imaginär sind, diejenige der Geraden do beträgt 1. 24 + 9. (16 + 8) = 

 240, von w^elchen 72 reell, 168 imaginär sind. 



Die zwölf Geraden d,, des einen Systems schneiden auf jeder Funda- 

 mentalfläche die zwölf Geraden des anderen Systems in 12" = 144 Punkten 



(liegen in 144 Ebenen), welche für je eine Gerade d^ Kubooktaeder- 



.('0 / W)\ 



punkte i ( Rhombendodekaederebenen i 1 darstellen. Diese 144 Punkte 



i (^Ebenen t 1 sind identisch mit den 144 Punkten ti,, (Berührungsebenen 



do), welche die Schnittpunkte der (die Berührungsebenen durch die) 2. 36 

 Geraden d mit der betrachteten (an die) Fundamentalfläche (vgl. § 1) sind. 

 Endlich schneiden sich (bestimmen) auf jeder Fundamentalfläche je 

 eine der acht Geraden Ao des ersten bez. zweiten Systems und je eine der 

 zwölf Geraden do des zweiten bez. ersten Systems in je einem Punkte (je 



eine Verbindungsebene), so dass für jede Gerade /.(, zwölf Punkte i 







/ (i-)\ 



(Ebenen «^ 1, welche Kubooktaederpunkte (Rhombendodekaeder- 

 ebenen) derselben sind, auf jeder Geraden do acht Punkte (} ' (Ebenen 



(_^ 1, Avelche Hexaederpunkte (Oktaederebenen) derselben sind, auf- 

 treten. Auf jeder Fundaraentalfläche sind 12. 16 = 8. 24 = 192 solcher 



(/() (ä) ( (A-) {d)\ 



Punkte i^ =1)^ (^Ebenen i^ =(^ j vorhanden; die Gesammtzahl derselben, 

 welche durchweg imaginär sind, beträgt 10.192 = 1920, da jeder Punkt 

 (jede Ebene) nur einer i^.-Fläche angehört. 



Es sind also auf jeder Fundamentalfläche sechs Gerade Co, acht 

 Gerade Äq, zwölf Gerade do als Erzeugende des einen Systems vorhanden, 



