Weitere Beiträge zur Theorie der rUnmlichen Configurationen. 15 



Der analytische Nachweis der im Obigen erörterten Lagenbeziehung-en 

 kann leicht in folgender Weise geführt werden, wobei wir uns auf die Be- 

 stimmung der Punkte auf den Graden beschränken können. 



Aus den Werthen für die tetraedrischen Coordinaten der einer Fun- 

 damentalfläche 1^'-' angehörigen 36 Punkte e«, 64 Punkte to, 144 Punkte bo 

 (den bez. Schnittpunkten von 18 Geraden e, 32 Geraden Ic und 72 Geraden 

 d mit dieser 1'.- Fläche) ergiebt sich, dass je 6 Punkte Co auf einer Er- 

 zeugungslinie eo, je 8 Punkte tg auf einer Erzeugungslinie Zv, und je 12 

 Punkte i)o auf einer Erzeugungslinie do je eines der beiden Systeme liegen. 

 Die Werthe für die Kl ein 'sehen Coordinaten .r, dieser Erzeugungslinien 

 stellen sich äusserst einfach und übersichtlich dar ; die Coordinaten a,-, , x^ ... % 

 iro'end einer Geraden: 



'o'- 



Cu sind durch 1/0000 \ (6,) 



h „ „ 1 « «2_ (6t) 



do „ „11 n/s 000 I (6,) 



bestimmt, wobei a eine imaginäre Kubikwurzel der Einheit bedeutet, und 

 alle Geraden derselben Gruppe durch Permutation dieser 6 Werthe, ver- 

 sehen mit den möglichen Vorzeichencombinationen resultiren. Es giebt hier- 

 nach ^ • H 2' = 3*^ Gerade e„, ^ . -|y 2^ = i60 Gerade k, und 3^2'^ = 240 



Gerade do, da für die Geraden e^ eine Multi])lication der Coordinaten werthe 

 mit i, für die Geraden /.q eine solche mit a und «^ wiederum je eine Per- 

 mutation derselben Elemente liefert. Für die einer Fundamentalfläche 

 als Erzeugende angehörenden Graden sind, wenn die Gleichung der -F.- Fläche 

 in Klein sehen Liniencoordinaten ') : 



x\ + x% + x% =0 oder x'u + .TI5 + a-'ig = ist, 



die Coordinaten a-^^ x^.^^ x^^ (a-j^, a-j^, a-j^) der Geraden des ersten (zweiten) 

 Systems sämmtlich Null, dagegen die Coordinaten x^^^ x^^, xi^. (0;^^, o-j,, xi^) 

 der ersten (zweiten) Gruppe für die Geraden cq, Ic^, do bez. durch die mit 

 den Vorzeichencombinationen versehenen Permutationen der drei AVerthe 



1, i, 0; 1, a, «2; i_ 1^ i^2 gegeben. 



1) Vgl. A,. § 5. 



