Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 41 



Die Erzeugenden eo> ^oi <^o dieser Fundamentalflächen sind in § 2, 

 die Tangenten r, p' und p", q und t derselben in §4 unter 3), 4), 5), 7) 

 betrachtet worden. 



2) 60 Flächen f'-^\ 



Dieselben werden durch je drei zu zweien in Involution lieg-ende 

 Complexe C,,. erzeugt; solcher Flächen giebt es, da die Zahl der wind- 

 schiefen Involutionen (vgl- (16):C%) mit C2) unter 6)) 180 beträgt, 60, von 

 denen 24 reelP) und 36 imaginär sind. Diese 60 Flächen i*^"' ordnen sich 

 in 15 Quadrupel; je vier Flächen eines Quadrupels haben ein Polartetraeder, 

 nämlich eins der 15 Fundamentaltetraeder T- gemein; jede Fläche eines 

 Quadrupels berührt die 3 anderen in 12 Punkten e. Die Gleichungen der 

 4 Flächen eines Quadrupels in tetraedrischen Punkt- (oder Ebenen-) Coor- 

 dinaten setzen sich linear (die auftretenden Factoren sind entweder 4 mal 

 ± 1 , oder je 2 mal + 1 und ± i) aus den Gleichungen von vier solchen 

 Fundamentalflächen zusammen, zu welchen je eins der 15 Fundamental- 

 tetraeder als gemeinsames Polartetraeder gehört. 



Mau erhält z. B. 



— 2(2 + z,2 + 2^2 -j. 2^2 = (18ß) 



Oder —£,2 + ^,2 + C:r- + ?4^ = (18^) 



- F/1) -f- F.P -J- JF;(') -I- F^ = (18y) 



(.r.-a:,)2 + (ar3-a-4)2 + (a-5-.r6P = . . . (18d) 



oder in + a-.,)2 + fe + x,)^ + (x, + .r,)2 = . . . (18«) 



Erzeugende des einen Systems: 1 -i 6 -6 ± i\/l+d^ l^i\/T+6^, . . (18^) 

 „ „ zweiten „ l l t e ± i\/l+r^ + i[/l+7^ . . (18a;) 



Die den Werthen ö, f = 0, x, ± i entsprechenden Oktaeder-Ge- 

 raden beider Systeme sind je 6 imaginäre Gerade d (vgl. § 4 unter 8b)), 

 Die den Werthen (J, £ = + o, + «2 entsprechenden Hexaeder-Ge- 

 raden beider Systeme sind je 8 imaginäre Gerade t (vgl. § 4 unter 7)). 



Die den Werthen ö, t = + l, +«'l/2, + -% entsprechenden Kubo- 



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•) Die Gleichungen der 24 reellen Flächen in tetraedrischen Punkt- (oder Ebenen-) 

 Coordinaten habe ich Math. Ann. Bd. 28, S. 247 — 249 gegeben. Vgl. auch Th. Reye: Acta 

 Mathem. I S. 97 — 108 unter 17, wo diese 24 reellen (nicht geradlinigen) Flächen als Ord- 

 nungsflächen von Polarsystemen erhalten werden. Vgl. § 18 B. 1). 



Nova Acta LXXV. Nr. 1. ft 



