42 Edmund Hess, 



oktaeder-Geradeii beider Systeme sind je 12 imaginäre Gerade r (vgl. 

 § 4 unter 3)). 



Die 36 Oktaeder-Punkte, von denen je 6 einer Geraden d an- 

 gehören, sind durch 12 Punkte e und 24 Punkte l, die 64 Hexaeder- 

 Punkte, deren je 8 einer Geraden t angehören, durch 32 Punkte % und 

 32 Punkte p (vgl. §4, (12«)) und die 144 Kubooktaeder-Punkte, von 

 denen je 12 auf einer Geraden r liegen, durch 48 Punkte bo und 96 Punkte 

 (/•, r, cI) (vgl. § 4 unter 3)) dargestellt. Analoges gilt für die Berührungs- 

 ebenen der Fläche. 



Die Oktaeder-, Hexaeder- und Kubooktaeder-Geraden 

 können auch als Axenpaare je zweier windschiefen Involutionen analog 

 wie unter 1) erhalten werden (vgl. die Zusammenstellung in (16)). 



3) 90 Flächen F^^\ 



Jede dieser Flächen wird durch drei zu je zweien in Involution 

 liegende Complexe C^j, z. B. durch xi — x-j = o, a\ + x-, = o, a-j -|- -Tg = 

 oder durch x^ — x-^ = o, x^ + x^ = o, x^ — .r^ = O oder auch durch zwei 

 Complexe C^,^ und einen Complex C,^. z. B. durch a-, =- o, x-, = o, .rj + x^ = o 

 oder durch .r;, = 0, a-5 = o, .r^ — x^ = erzeugt. Die Gesamiutzahl dieser 

 Flächen beträgt 90, da durch jedes Geradenpaar e 12 solcher Flächen hin- 

 durchgehen und jede Fläche 2 Geradenpaare e als Erzeugende enthält. 

 Von den 90 Flächen sind 36 reell,') welche je ein reelles und ein imagi- 

 näres Geradenpaar e enthalten; von den 54 imaginären enthalten 36 je 

 zwei reelle, 18 dagegen je zwei imaginäre Geradenpaare e. Die Gleichungen 

 der Flächen in tetraedrischen Punkt- oder Ebenen -Coordinateu setzen sich 

 linear aus den Gleichungen zweier Fundamentalflächen F^^^ zusammen, und 

 zwar die reellen in der Form f[^^ ± F\1^ = o, die imaginären in der Form 

 jP^I^ ± «' F\^J = 0. Für das oben gewählte Beispiel erhalten wir folgende 

 Formen der Gleichungen: 



^1 ('-3 + ^4) — ^2 (Z3 — 24) = . . . (19«) Oder ^i (?3 + $4) — S2 (Ss - S4) = . . . (19^ 



Fg + F-, = (19-/) 



(x, — x,y + (.r, + .r.)-^ + (X, + x,y^ =0 (19d) 



oder {a; — oc,)^ + (.T, + x,)^ + {xi — x,)^=0 (19£) 



1) Die 36 reellen Flächen hat auch Reye: Acta Mathem. I S. 97 — 108 als Ordnungs- 

 flächen von Polarsystemen (unter 11) betrachtet. Vgl. § 18. B. 



