Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 43 



2.r,2 + 2a:,2 + (X4 + .r,y- = ... (1%) oder 2x3^ + 2.r/^ + (xj — arg)'- = . . . (19^) 



Erzeugende des einen Systems: 6 ±i[^¥+6^ 1 1 (I9u) 



„ „ zweiten „ : s 1 ±i\/2+^- -1 (19/) 



Bei ZugTundeleg-ung der Formen (190) und (19«) entsprechen als 

 Oktaeder-G-erade beider Systeme den Werthen d, £ = ^ je zwei Grerade 

 e, den "Werthen 6,t = ±i je 4 Gerade d, als Hexaeder- Gerade beider 

 Systeme den Werthen 0, t = ± i, +«l/3 je 8 Gerade /* (vgl. § 4 unter 1), 

 als Kubooktaeder-Gerade beider Systeme den Werthen d, t = 0, ±i\/2 

 je vier Gerade d^, den Werthen ö, e = ± {l ±i[/2) je 8 Gerade «2,4 (vgl. 

 unter (16)). 



Legt man dagegen die Formen (19^) und (19/;) der Gleichung zu 

 Grunde, so erhält man eine zweite kubooktaedrische Eintheilung der 

 Fläche, in dem alsdann als Oktaeder- Gerade beider Systeme den 

 AVerthen 6, s = oc je zwei Gerade c und den Werthen 6, e = 0, + t\/2 je vier 

 Gerade (/o entsprechen; als Hexaeder- Gerade treten alsdann je 8 Gerade 

 auf, den Werthen d, e = ±a\/'2, ±a''-\/2 entsprechend und als Kubo- 

 oktaeder-Gerade die vier den Werthen 6, t = -jri entsprechenden Geraden- 

 paare d, ausserdem noch 8 Geradenpaare, welche den Werthen 0, z= ±_ \/2, 

 ± 2 i entsprechen. 



4) 180 Flächen i^<-*>. 



Dieselben werden durch je einen Complex C.^. und zwei Complexe 

 C(2) erzeugt; ihre Gesammtzahl beträgt 180, von welchen 36 reell und 144 

 imaginär sind. Die Gleichungen in tetraedrischen Punkt- (oder Ebenen-) 

 Coordinaten setzen sich linear aus den Gleichungen von vier Fundamental- 

 flächen zusammen und zwar treten dieselben 15 Verbindungen von je vier 

 Flächen -F*^'-* auf, zu denen je eins der 15 Fundamentaltetraeder als ge- 

 meinsames Polartetraeder gehört, wie bei den Flächen F^^^ bei jeder der 

 15 Verbindungen sind hier die übrigen 12 Combinationen der Factoren 

 1' + 1: ± 1. + 1 oder 1, + 1, ri: /, + i zu bilden. 



Z. B. FW . . . z,2 — 22^ — 2 Z3 24 = . . . (20a) oder C.^ — C.ä _ 2 C3 C4 = . . . (20,3) 



F, + F, + F,-F^ = (20/) 



2 x^■^ + {X3 + x,)^ + (x, — x,r- ^ {206) 



oder 2 x,^ + {X, - x,y- + (x^ + x,)^ = (20«) 



Erzeugende des einen Systems: ± i\/2{l+6^) 6 l 6 — 1 . . . . (20g) 



„ „ zweiten „ : ± i\/2{l+e^) s l — s l . . . . (20»;). 



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