44 Edmund Hess, 



Als Oktaeder-Grerade entsprechen den Werthen 6, s = o, ^ je 

 4 Gerade do und den Werthen ö, £ = ± i je 2 Gerade d; als Hexaeder- 

 Gerade treten je 8 den "Werthen 6, t = ± a, ± «^ entsprechende Gerade und 

 als Kubooktaeder-Gerade je vier den Werthen rf, £ = ± l entsprechende 

 Gerade s und ausserdem noch 8 Geradenpaare auf, den Wertheu 6, e ^ ± i\/2, 



± -p entsprechend. 



Für die Werthe 6, £ = ±d/s' + * 1/ ö ergeben sich je 8 Gerade l 

 (vgl. § 4 unter 2) u. s. f. 



5) 120 Flächen f'-'^I 



Diese Flächen werden entweder durch je zwei Complexe 6^, und 

 einen Complex C/4^ oder auf drei verschiedene Arten durcli je zwei Com- 

 plexe (7,-2) und einen Complex C^^s erzeugt. Die Gesammtzahl dieser durch- 

 weg imaginären Flächen, von denen je 8 durch eins der 15 Geradenpaare e 

 hindurchgehen, beträgt 120. Die Gleichungen in tetraedrischen Punkt- (oder 

 Ebenen-)Coordinaten setzen sich linear aus den Gleichungen der vier Fiinda- 

 mentalflächen, welche durch ein Geradeupaar e hindurchgehen, oder auch 

 aus den Gleichungen je zweier der 90 Flächen F^''^\ von denen je 12 ein 

 Geradenpaar e gemein haben, zusammen. So gehen z. B. durch das Geraden- 

 paar (56)... i±i die vier Fundamentalflächen F^, F^, F(„ Fg, die 12 

 Flächen F^^'^: F,±F, = 0, F,±F, = 0, F,±i F,=o, F,±i F, = 0, F,±iF,=^0, 

 F,±iF,=^0 und die 8 Flächen F(^) ■ . ■ {F, ± F^) ± i (F^ ± F,) = o, deren 

 Gleichungen in x-Coordinaten durch + .r, = + a-., = + 0:3 = +.^'4 dargestellt 

 werden, hindurch. Für eine dieser 8 Flächen z.B. — x, ^ xi = x-i = Xi 

 erhält man: 



21 (zi - zd + i ^3 (z, -f- zj) = . . . (21«) oder y, (g, — C4) — / C3 (si + S4) = . . . (21^) 



{F, + F,) + i {F, + F^)^0 (2I7) 



(-.T, + .r., + ^3 + 0:4)2 -f 43-52 + 4 .Te^ = (21rf) 



oder (x, — x.^ + x^ + Xi)'^ -f- 2 (ar, + arj)^ + 2 (X3 — x^y- = j 



oder (x, + a-s - x^ + .^4)2 + 2 (x, + x^y -f- 2 (X4 — Xj)^ = • . (21 s) 



oder (x, +.r2 + .r3-.r4)2 + 2(.c, -|-.r4)2 + 2(x2 — .r3)2 = ) 



Erzeugende des einen Systems: — i 1 1 1 d ^i\/i^r^, . . (21g) 



„ „ zweiten „ i+f,+£.2 1 e, £2 0, (21?;) 



wobei £r + «i £2 + «2- + «i + £0 -i- 1 = ist. 



