Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 



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Als Oktaeder -Ger ade des einen Systems erhält man dem Werthe 

 d= 'X entsprechend 2 Gerade e (5, 6) und den Werthen 6 = 0,2i ent- 

 sprechend 4 Gerade s, als Hexaeder- Gerade desselben Systems 8 den 

 Werthen d=+2a, +2a2 entsprechende Gerade und als Kubooktaeder- 

 Gerade einmal 4 Gerade r für die Werthe d=±i[/2, sodann 8 Gerade 

 für die Werthe d = -|:2, ±2i\/2. Den Werthen (j=-)-i, ±i\/5 entsprechen 

 8 Gerade m (vgl. § 4 (llv)). 



Für das zweite System ergeben sich als Oktaeder-Gerade für 



die Werthenpaare 



£, = + I 



e,=-l 



f 2 = ± «' 



6-2 





6 Gerade d, als Hexaeder- Ger ade für die Werthenpaare 



£,=0 



£| = ß, «2 



6,=0 





«2 



«2 



f 2 = Xj £-2 



'-^ = «,«2 



entsprechend 8 Gerade Jco, als Kubooktaeder-Gerade endlich 12 Ge- 

 rade u-i, 4 (vgl. unter (ifi) und unter 3) dieses §), welche für die Werthenpaare: 



£2=-i+«y2 



£, =-l±?V2 



£2^ 



£, = -l±i\/2 



£-2 =-l+i\/''2 



l-l = 



-l±i\/2 

 3 



-l+i[/2 



£i = 



£, = 



-l+i\/2 



3 

 -l±tV2 



und £j = £2 i 



-l+«l/2 



resultiren. 



Diese Erzeugenden des zweiten Systems ergeben sich auch sehr ein- 

 fach als Axenpaare je zweier Involutionen aus den Gleichungen (21 1). 



6) 240 Flächen F^*^\ 



Jede dieser Flächen wird entweder durch zwei Complexe C',,. und 

 einen Complex C'^3^ oder durch einen Coraplex 6',,^ und zwei, aber nicht 

 in Involution liegende Complexe C'^.,) erzeugt; statt des einen dieser beiden 

 letzteren Complexe lässt sich (auf 3 Arten) ein Complex 2xi^ ± xi^ ±xi^ = 

 einführen, welcher mit dem anderen Complexe C,^. in Involution liegt. Durch 

 jedes Geradenpaar e gehen 16 dieser Flächen i^^^^ hindurch, sodass die 

 Gesammtzahl 240 beträgt und zwar giebt es 24 reelle Flächen, von denen 

 je vier durch eins der imaginären Geradenpaare e hindurchgehen und 216 

 imaginäre Flächen. Die Gleichungen dieser Flächen f'^^^ in tetraedrischen 

 Punkt- (oder Ebenen-) Coordinaten setzen sich linear (die auftretenden Fac- 

 toren sind + 1, ± 1, + 1 und dr i> + i, ± /) aus den Gleichungen je dreier 



