Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Confignrationen. ö<^ 



Alle Complexe des „Gewebes": 



a-i Xä + Oä Xj + «4 Xi + «5 Xä + «0 Xg = , . . . . . (68/) 

 zu welchen der Complex X, = o in Involution ist, werden in sich trans- 



formirt. 



Für ein Nullsystem, dessen zugehöriger linearer Complex ein Com- 

 plex 0^2) . . . .ri^±xi^ = o ist, kann diese Form leicht durcli Coordinaten- 

 transformation erhalten werden. 



Für eine Correlation Z'i = i:ßik Zj,, i,k=l, 2, 3, 4 liefern bekanntlich 



k 



die Wurzeln der biquadratischen Gleichung-, welche durch XuUsetzen der 

 Determinante entsteht, deren Diagonalglieder ßu (p— i) sind, während zwei 

 symmetrisch liegende Elemente durch Qßik~ßki und pfe—Z^it dargestellt sind, 

 die vier Werthgruppen ^;, welche die mit ihren entsprechenden Ebenen 

 incidenten Punkte bestimmen. Die Wurzeln dieser biquadratischen Gleichung 

 werden bei einer Polarcorrelation p = i, i, l, i, bei einer Nullcorrelation 



(> = — 1, -1, -1, — 1- 



Die Gleichung 6ten Grades in o, deren Wurzeln die bei einer Corre- 

 lation festbleibenden Geraden und linearen Complexe bestimmen, hat für 

 den Fall einer Polarcorrelation (vgl. (67-/)) die Wurzeln ö = l, l, i, — i,— i,— 1, 

 für den Fall einer Nullcorrelation (vgl. (68^)) die Wurzeln = — l, i, 1, l, i, i. 



3) Correlatiouen mit Axen. 



Bei einer derartigen Correlation sind die beiden sich involutorisch 

 entsprechenden Axen g^ , g-i dadurch ausgezeichnet, dass zwei bestimmte durch 

 ffi gehende Ebenen /7i, U-, bez. mit den ihnen entsprechenden Punkten $, , $2 

 von (/> incident sind und dass die Punkte von (ji in incidente Ebenen von 

 g-i übergehen, während den Ebenen durch fji (ausser 77, und /Zo) nicht inci- 

 dente Punkte von ^2 entsprechen. Es bleiben also die Geraden der beiden 

 ebenenStrahlbüschel (^1, 77,) und (^2, Hi) bei der Correlation fest; der Com- 

 plex Q' zweiten Grades zerfällt in zwei lineare Complexe, welche sich durch 

 die Correlation vertauschen, während zwei andere, demselben Complex- 

 büschel angehörige lineare Complexe in sich transformirt werden.') Die 

 durch die Correlation in sich transformirten Flächen 2teii Grades können 

 auf die erste oder zweite Art in sich transformirt werden; wir unter- 

 scheiden hiernach Correlationen mit Axen von der ersten oder zweiten Art. 



1) Vgl. Clebsch-Lindemann: Vorlesungen. S. 411 unter 11). 



