Weitere Beiü-äge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 99 



§ 10. 

 Uebersiclit der linearen Transformationen der Cf. (6O15, BOg). 



Mit Benutzung der in den vorhergehenden Paragraphen gewonnenen 

 und zusammengestellten Resultate werden wir nunmehr ohne Schwierigkeit 

 unsere eigentliche Aufgabe, die sämmtlichen linearen Transformationen der 

 Cf. (6O15, Süß) aufzustellen und nach ihrer geometrischen Bedeutung zu 

 interpretiren, zu lösen im Stande sein. 



Wenn man unter Zugrundelegung des Fundaraentaltetraeders T, mit 

 den 6 Liniencoordinaten xi, .r., . . . .r^ sämmtliche Permutationen: 



•Ti' = Xk {i, Ic = 1, 2, ... 6) 

 unter gleichzeitiger Anwendung der 2s = 32 Yorzeichencombinationen : 



^i = ±Xk (79«) 



vornimmt'), so ergeben sich im Ganzen 6 ! 2» = 23040 Substitutionen. Dabei 

 bedeutet jede aus einer geraden Anzahl dieser beiden Elementaroperationen 

 zusammengesetzte Aenderung der xi eine Collineation. jede aus einer 

 ungeraden Anzahl zusammengesetzte eine Correlation, sodass also 

 11520 Collineationen und ebenso viele Correlationen resultiren. 



Diese Transformationen lassen sich in den auf dasselbe Fundamental- 

 tetraeder Ti bezogenen tetraedrischeu Coordinaten zi oder Zi il = 1, 2, 3, 4) 

 ausdrücken, indem man zunächst die Plücker'schen Liniencoordinaten p'iu 

 durch Pik darstellt und aus diesen Relationen die Transformationsformeln in 

 Punkt- oder Ebenen-Coordinaten erhält; die hierzu nöthigen Rechnungen 

 vereinfachen sich wesentlich zufolge der besonderen Form der Substitutionen 

 (79ö). Die Collineationen, bez. Correlationen werden alsdann durch folgende 

 Formeln ausgedrückt il = 1, 2, 3, 4) : 



■^^'l^ %,^^+ %.Ji+ %,H+ %,^i\ r!;'i = Ai^^L,^+Ai^^_i;.i+Ai^^C3+Ai^^i,i . . . (79/3) 



worin die Coefficienten %^, «? .,, ai^^, ai^^ und Ai,^, Ai^^, ^,^^, Ai^^ die Coordi- 

 naten der Ecken bezw. Flächen je eines der 15 Fundamentaltetraeder be- 

 deuten. Bei reellen Werthen der Coordinaten ist ^;,„ = «;,«, bei imaginären 

 ■^l,m = ^'i,m, WO a'i^„i der conjugirt complexe Werth zu (%m ist. Die sämmt- 



1) Vgl. W. Reichardt: Math. Ann. Bd. 28 S. 84— 98 und H. Maschke: Math. Ann. 

 Bd. 30 S. 496 fif. 



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