Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 107 



die Axen der Cong'ruenz sind die beiden Geraden: 



'o' 



( 1 «2 o I 



'-• ••• jl « «^ 0| (81,) 



Die Complexe des Grebüsches (vgl. (58/)): 



rt, (.r, + X3 + x^) + «2 a:, + a4 a-4 -f- ae 0:5 = 0, (81d) 



sowie die beiden speciellen Complexe, deren Leitgerade je eine der beiden 

 Axen (8I7) ist, werden in sich transformirt. Die beiden Axen bleiben 

 absolut fest, während die Punkte (Ebenen) der Geraden, welche beide Axen 

 schneiden, sich mit Ausnahme der beiden festen Punkte (Ebenen) nach der 

 Periode 3 verschieben (drehen). 



Als entsprechende Substitution in tetraedrischen Coordinaten er- 

 geben sich aus jedem der beiden Tetraeder T.2, T^ 2.4 reelle, aus jedem 

 der 6 Tetraeder T.o .. T,=, 2.4 imaginäre und aus jedem der Tetraeder Ti..T^ 

 und Tt-.T^ 4.4 imaginäre Substitutionen, sodass also drei Gruppen von 16, 

 48 und 96 Substitutionen unterschieden werden können. So erhält man für 

 das oben gewählte Beispiel: 



S = [0:3 X.2 .Tj .T4 a:, Xu] = [1 3 4 2]., j 



S^ = [x:,x.x,XiX,x,] = [l 4 2 3],; | ^''''> 



die beiden Doppelwurzeln t = «, «^ liefern die beiden Axen (8I7) der Colli- 

 neation; zu den <x^ Flächen zweiten Grades, welche durch das Axenpaar 

 hindurchgehen und durch die Collineation in sich transformirt werden (vgl. 

 § 9 I A 4) unter (58 f)), gehören je eine Fundamentalfläche F^^^ (die übrigen 

 Fundamentalflächen gehen zu je dreien in einander über), je 6 Flächen 

 F^''^, je 3 Flächen F^^'\ je 6 Flächen F^^\ je 8 Flächen F^^^ (vergl. § 7 

 unter 1), 5), 6), 7), 8)). 



2) Die 12 . 40 = 480 Substitutionen von der Form (81«), bei welchen 

 entweder je zwei der nicht permutirteu Grössen xi oder je eine der permu- 

 tirten und je eine der nicht permutirten Grössen a-j negative Vorzeichen 

 haben, bedeuten sechszählige Colli neationen und zwar auf zwei 

 Arten eigentliche sechszählige Collineationen (vgl. § 9 I Bunter 2) «)). 

 Die Eckpunkte (Seitenflächen) des Haupttetraeders dieser Collineationen sind 

 4 Punkte (Ebenen) iff ^'^^IHi^f = f^t), welche in § 8 I 8) in (867) auge- 

 geben sind, die 3 Kanteupaare sind je ein Geradenpaar k^,, e und /* (vgl. 

 (36(5) j, welche bez. den Wurzelwerthen = «, ß% der Doppelwurzel ö = — i 



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