Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 111 



bedeuten, in tetraedrischen Coordinaten dargestellt (vgl. § 10 {79-/) und (797')). 

 so entfallen auf die beiden Fundamentaltetraeder T-i-, Tj je 2 . 16, also 

 4 . 16 = 64 r e e 1 1 e , auf die 6 Tetraeder T,c . • T^ je 2 . 16 , also 12 . 16 = 192 

 imaginäre, und auf die 3 Tetraeder T^..l\ und die 3 Tetraeder T-j-.T^ 

 je 4.16, also 24.16^384 imaginäre Collineationen und ebensoviele 

 Correlationen. 



§ 13. 



Collineationen nnd Correlationen, welclie aus den 



45 Perniutationen (^'i, «O {^h ^i^ resnltiren. 



A) Collineationen, den positiven Vorzeichencombinationen entsprecbend. 



1) Die 4 . 45 = 180 derartigen Substitutionen, bei welchen sämmtliche 



Elemente x-i positiv sind oder je zwei permutirte Elemente eines Paares 



oder endlich beider Paare negative Vorzeichen haben, bedeuten (vgl. § 9 



I A 2)) geschaart-in VC lu torische Collineationen, deren Axen- 



paar je eins der 180 Geradenpaare d (vgl. § 3 unter (11) und § 6) ist. Z.B. 



den vier aus (.1-3 0:5) (.r4 .r„j hervorgehenden Substitutionen entsprechen bezw. 



gesehaart involutorische C'ollineationen mit den durch ihre a-j- Coordinaten 



bestimmten Axenpaaren d: 



[l\ x-i a\ x^ x^ X i\ = [— 1 2 4 3]| Zugehöriges Axenpaar cZ: 1 -j-t — 1 +i \ 



[.r, x.^ — a-, — ,ro -x^ — .T4] = [1-2 4 3],,, „ „ 1 ^^^ l ±i\ 



[.T, Xi —x^ Xe — ^3 x^] = [213 —4], ,, „ „001 +i l -j-i j ^ 



[x, a:^ .T5 — Xe X3 — 0:4] = [2 1 — 3 4], „ „ „ 0—1 ±i 1 ±i) 



Durch jede dieser 180 Transformationen, bei welchen je eins der 36 

 reellen und der 72 + 72 imaginären Axenpaare d erster und zweiter Art, 

 sowie alle diese schneidenden Geraden festbleiben, gehen je zwei Funda- 

 mentalcomplexe C,^-. (im Beispiel x, = und x-^ = 0) in sich, die übrigen 4 

 zu je zweien ineinander über, ebenso gehen je zwei der Fundamentalflächen 

 F^'^' (im Beispiel jP^I^ und i^^P), die übrigen 8 zu je zweien in einander 

 über, endlich gehen je drei Fundamentaltetraeder T^ (im Beispiel T,, T4, T,, 

 welche das Kantenpaar (12) gemein haben) in sich, die übrigen 12 zii je 

 zweien in einander über. 



Bei der Darstellung der Substitutionen in tetraedrischen Coordinaten 

 entfallen die 36 geschaart-involutorischen Collineationen mit reellem Axen- 

 paare d zu je 4 . 3 auf die 3 Tetraeder 1\, T^, T,, die 72 imaginären Colli- 



