Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Confignrationen. 12o 



das Punktpaar e der einen und das Ebenenpaar t der anderen Axe. Die 

 Gleichuno'en der beiden in sicli transforiuirten Complexe, der in sich auf 

 die zweite Art transformirten Flächen 2ten Grades folgen aus den Formeln 

 (70)- von je 4 zusaramengehürigen .Substitutionen mit demselben Axenpaar 

 entsprechen sich je zwei als S und S^, während *S'- für beide die geschaart- 

 involutorische Collineation mit dem Axenpaar d darstellt. Z. B. (vgl. (84«)): 



Mittelpunkte: Ebenen: 



der Strahlbüschel 

 S = [— .r, -.T3 3-4 .r, .T„ -X,] = [ 1 2 3l] , = [ 12 3 i] , \ e^ ... 1 e<]' ... 1 

 A3 = [.r4 -X, -X, a-3 -X, x,\ = [4 2 -3 Ij, = [ 4 2 -3 l\ \ t'V ... I 1 f1> ... 1 -1 

 S = [_.r., _.T3 .T4 .r, -.TS X,] = [l-2-3 4]6= [1 -2 -3 4 ]^ \ e<^* ... 1 i'V ... 1 (84g) 

 ^3 = [.,.^ _;,., -a-., X; X, -x,\ = [4 -2 3 ]]„= [4 -2 3 l\ J ei' ... 1 -1 t'f ... 1 1 



S2 = [x; -X, .r, -x., —x-, -xe] = [4 2-3 1], . 



Die Axen sind die beiden Geraden: 



d .. .\ t%' ei' I = I ä' £'? I . . . 1 -/ 1 i 

 iV ... I e<J' eT I = I £'5' £':;' I ... W 1 -i 0; 

 die beiden in sich transformirten linearen Complexe C'^^j sind: 



•^'i — ^-2 + ^-i + x^ = ^^ 

 .r, + x-i + Xz — Xi = 0; 



ZU den in sich auf die 2te Art transformirten Flächen gehören i^^|^ und J^P 



und die beiden Flächen F^'^\ deren Gleichungen in {M6') und (84(J") unter 



A 1) dieses § angegeben wurden. 



Die 720 Substitutionen zerfallen gemäss der Beschaffenheit der Axen 



(/ in drei Gruppen: 



Axen: Mittelpunkte (Ebenen) der Strahlbüschel 



a) 4 . 36 = 144 reelle Substitutionen: Ein reelles Geradenpaar d. Zwei reelle Punkte e (Ebenen s), 



b) 4 . 72 = 288 imaginäre „ : Ein imaginäres „ d Ein reeller, ein imaginärer Punkt e (Eine 



der ersten Art, reelle, eine imaginäre Ebene t), 



c) 4.72^288 „ „ ; Ein imaginäres Geradenpaar f? Zwei imaginäre Punkte e (Ebenen t). 



der zweiten Art, 



Bei der Darstellung dieser Substitutionen in tetraedrischen Coordi- 

 naten vertheilen sich die Substitutionen dieser drei Gruppen ganz in der- 

 selben Weise auf die Fundamentaltetraeder, wie die unter A i) betrachteten, 

 welche vierzählige Collineationen bedeuteten. 



2) Die 8 . 90 = 720 Substitutionen, bei welchen die beiden permutirten 

 Elemente ^i„-^ij gleiches, die vier anderen unter sich permutirten Elemente 



