Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 127 



§ 16. 



Colliiieationeii und Correlationen, welche aus den 



Utt Permutationen ('^i,<«i,<^i,^H»^0 hervorgehen. 



A) Colliiieationeii, den positiven Vorzeichencoiubiiiationen entsprechend. 

 Die 16.144 = 2304 Substitutionen (a-j^ .-c^^ x^^ a-j^ 3-^^) , bei welchen das 

 nicht perniutirte Element Xi^ positives, die fünf anderen unter sich permu- 

 tirten Elemente entweder sämmtlich positives oder eine gerade Anzahl 

 negativer Vorzeichen haben, bedeuten flinfzählige Collineationen (vgl. 

 § 9 I B unter 5) und § 8 I unter 12)). Die Coordinaten der Eckpunkte m 

 (Seitenflächen fi), der Kantenpaare, nämlich eines Greradenpaares m und 

 zweier Geradenpaare n des Haupttetraeders sind unter (40^-), (40()), ebenso die 

 Gleichungen der beiden zugehörigen tetraedralen Complexe unter (40£'), (40£") 

 für das Beispiel: 



S = [x, x; X, X, X, X.,] = [3 1 -2, 4,]3 = [ 3 1 2, -i, ]^ 

 S2 = [xi Xi X, X, x^ X;] = [4 1.- 3, -2], = r-4 1, 3, 2] ^ 

 A3 = [.i-, X, X, X., X, X,] = [3 -4,. ^2, 1]« = [3- 4.. 2,- 1 ]^ 



(85ß) 



S^ = [a;, X, Xi x.i x^ x-,] = [3 -2 4 -Ij.j = [3-2 4 -1],: 

 angegeben worden. 



Dass diese fünfzähligen Collineationen auf eine Art eigentliche 

 sind, folgt aus den Wurzelwerthen für o und t (66(S) und aus den auf das 

 Haupttetraeder bezogenen Transformationsformeln (66a), (66/3) in § 9 I B unt. 5)). 



Das in sich transformirte Büschel von Gewinden (vgl. § 8 I (28g'))> 

 dessen Basis ein Strahlennetz mit den beiden Leitgeraden m ist, hat die 



Gleichung: a-,+i«'(x2+a:3 + a;4+a-j+a,-„) = 0; (85,3) 



zu den Flächen des Flächeiibüschels Z, Z^ -\- X' Z-, Z^ = Q (vgl. (282')), dessen 

 Vierseit durch die 4 Kanten n des Haupttetraeders gebildet wird, gehören 

 die beiden Flächen i^^"), deren Gleichungen in § 7 ll) unter (27i3i, 7,) und 

 (27(32, 72) aufgestellt sind. 



Es giebt im Ganzen für diese 2304, zu je vier zusammengehörigen 

 Collineationen 576 Haupttetraeder; jede der 192 Geraden m (vgl. § 4 unt. 8b)), 

 welche 12 Punkte m als Ikosaederpunkte (Dodekaeder-Ebenen (i) trägt, tritt 

 6mal, jede der 2304 Geraden n einmal auf. Alle Elemente der Haupttetraeder 

 sind imaginär; die durchweg imaginären 2304 Substitutionen vertheilen sich 



