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136 Edmund Hess, 



die gegeiiüberlieg'eude Seitenfläche eines der 15 Fundamentaltetraeder Tj 

 sind. Z. B.: 



Centrum: Ebene: 

 der Homologie 

 S = l—x-2 Xi —Xx x-i —Xi x^ = [—1 2 3 4], . . . . ei . . . . f| 

 S = [—x-i a;, Xi -X3 Xe —x^] =; [1 -2 3 4]i . . . . e-i • . . • £2 

 S = [X2 -Xi -Xi X3 Xe -X5] = [1 2 -3 4]i .... €3 .... 63 

 S — [x-i -Xi Xi -x-i -X6 .T5] = [123 -4]i .... 64 .... £4 . 



Zu den ocs in sich auf die zweite Art transformirten Flächen gehören für 

 das erste Beispiel die vier Flächen F''1\ F^l\ i^^j^ F'^W die vier Flächen 

 F^^\ welche das Tetraeder Ti als Polartetraeder gemein haben, die 2.6 = 12 

 F^^\ deren Gleichungen sich aus denjenigen je zweier Flächen F^l\ I^V, 

 F^l\ F^\^ linear zusammensetzen, ferner 12 Flächen F^^^ z. B.: 



2 .Ti2 + (.Tj +.r4)2 + {x-, +X6r- = 2 a:,^ + (x-, +a-4)2 + (,r5 =F XeT- = n. s. f. 



Die 60 Transformationen zerfallen in zwei Gruppen von a) 24, für 

 welche die Ceutren und Ebenen der centrischen CoUiueation je ein Eck- 

 punkt und je eine Seitenfläche der 6 reellen Fundaraentaltetraeder Ti . . Tg 

 sind und von b) 36, für welche die Centren und Ebenen durch die Eck- 

 punkte und Seitenflächen der 9 imaginären Tetraeder T- . . Tn repräsentirt 

 sind. Bei der Darstellung der Substitutionen in tetraedrischen Coordinaten 

 entfallen die 24 reellen, zur Gruppe a) gehörigen, zu 4.4 auf Ti und zu je 

 1.4 auf To und Ts, die 36 imaginären zur Gruppe b) gehörigen zu 3.4 auf 

 Ti und zu je l . 4 auf Ti„ . . Tis. 



2) Die 12.15^ 180 Substitutionen, bei welchen die beiden ver- 

 tauschten Elemente eines Paares entgegengesetztes, die vertauschten 

 Elemente jedes der beiden anderen Paare aber unter sich gleiches Vor- 

 zeichen haben, bedeuten vier zählige Collineationen (vergl. § 9 I B 

 unter i)) und zwar solche, deren Haupttetraeder zu Eckpunkten (Seiten- 

 flächen) je zwei Pnnktpaare c (Ebenenpaare t) haben, welche zwei verschie- 

 denen Fundamentaltetraedern angehören und deren Kanteupaare je ein Ge- 

 radenpaar e und zwei Geradenpaare ä sind (vgl. § 8 C I unter 3)). Die 

 Coordinaten der Elemente eines solchen Haupttetraeders sind in (31/) und 

 (31 d) für das Beispiel: 



1 ^ Y"' "' ~"' '"' "' i ^ t' I ! -J I S-^ = [-^ -^ -» -^ -^ -d = [-1 -2 3 4]. j (87^) . 

 63 = [a;2 -Xi -Xi -x-i X« Xj] = [2-14 3ji ) I 



